Матрицы впервые появились в середине прошлого столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И. А. Лаппо-Данилевский, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.
2. Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми элементами.
Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцовой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях достаточно отмечать элементы одним индексом:
- 30 -
Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и сокращенно обозначают как x = (x1, x2, ..., xn) y = (y1, y1, ..., y1). Обычно из контекста ясно, идет ли речь о векторе-столбце или о векторе-строке. В противном случае используют приведенные выше обозначения.
Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно n, называется квадратной матрицей порядка n. Совокупность ii-клеток (i = 1, 2, ..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элемента которой вне главной диагонали равны нулю, т.е.
называется диагональной и более кратко записывается D = diag(d1, d2, ..., dn). Если в диагональной матрице d1 = d2 = ...= dn = 1, то имеем единичную матрицу n-го порядка
- 31 -
которая часто обозначается также через 1n или просто цифрой 1 (не следует принимать это обозначение за число, равное единице).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер m × n, в то время как единичная матрица всегда квадратная. Матрица, состоящая только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом.
Квадратная матрица зазывается верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю:
Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А), так и нижней (В) треугольных матриц.
3. Сложение матриц. Сумма двух матриц А и В одинаковых размеров определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. C = A +B, если cij = aij + bij. Пример:
Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т.е. А+В = В+А, и ассоциативна, т.е. (А+В)+С = А+(В+С). Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица А не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т.е. А + 0 = А.
4. Умножение матрицы на число. По определению произведением матрицы А на число α (в отличие от матриц и векторов, числа часто называют скалярами) является матрица С = αА, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы А на это число α, т.е. cij = αaij. Пример:
- 32 -
Очевидно, справедливы следующие соотношения: α(A + B) = αA +αB; (α + β)A = αA + βA; (αβ)A = α(βA), где A и B - матрицы одинакового размера; α и β - числа (скаляры). Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.
Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением A - B = A + (-I)B, т.е. C = A - B, если cij = aij - bij.
5. Умножение матриц. По многим соображениям целесообразно определить эту операцию следующим образом: Произведением матрицы A размера (m × n) на матрицу B размера (n × r) является матрица C = AB размера (m × r), элемент cij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-й строки матрица A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.
Умножение А на В допустимо (произведение АВ существует) если число столбцов А равно числу строк В ( в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:
- 33 -
Для матриц A (m × n) и B(n × m) существует как произведение АВ размера m × m, так и произведение BA размера n × n. Ясно, что при m × n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т.е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц
имеем:
Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB ≠ BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).
Умножение (m × n) - матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. EmA = AEn = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.
Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:
6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при
- 34 -
сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A или A':
Произвольная (m × n) - матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент aij занимает ji - клетку, т.е. aij = aji.
Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = A, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением aij = aji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -A, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением aij = -aji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. aii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц: