Эта формула получена из каких-либо ограничений относительно характера событий А и В:
для зависимых событий
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A)PA(B),
для независимых событий
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A)(B).
10. Независимость и несовместность. При использовании приведенных соотношений необходимо четко понимать смысл таких свойств событий, как независимость и несовместностью. Условиями независимости событий можно рассматривать каждое из соотношений
P(A ∩ B) = P(A) + P(B); PA(B) = P(B)
Так, при бросании двух игральных костей вероятности событий А(дубль) и В(меньше 6 очков) равны соответственно P(A) = 6/36 = 1/6 и P(B) = 10/36 = 5/18. Одновременному появлению этих событий соответствует подмножество A ∩ B = {(1,1),(2,2)} и его вероятность P(A ∩ B) = 2/36=1/18. Так как P(A ∩ B) B≠ P(A)P(B), то рассматриваемые события являются зависимыми. С другой стороны, событие В при условии наступления события А определяется как подмножество {(1,1),(2,2)} основного множества {(1,1),(2,2), (3,3),(4,4}{(5,5),(6,6)}, и PA(B) = 2/6 = 1/3, т.е. не совпадает с P(B)= 5/18. По соответствующим формулам имеем:
P(A ∩ B) = P(A)PA(B) = 1/6 · 1/3 = 1/18;
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)PA(B) = 1/6 + 5/18 -1/6 · 1/3 = 7/18.
Очевидно, те же результаты получим, если пример В в качестве дополнительного условия для А. Так как множество {(1,1),(1,2),
- 80 -
(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)}, соответствующее событию В, служит основным для события А, то
PB(A) = 2/10 = 1/5,
и следовательно получаем:
P(A ∩ B) = P(B)PB(A)= 5/18 · 1/5 = 1/18;
P(A ∪ B) = P*A) + P(B) - P(B)PB(A) = 1/6+5/18-5/18· 1/5=7/18.
Общее условие несовместности событий выражается как
P(A ∩ B) = 0,
что соответствует A ∩ B = ∅. Так, в рассматриваемом примере A ∩ B = {(1,1),(2,2)} ≠ ∅, следовательно, события А и В совместны.
Независимые события А и В при ненулевых вероятностях P(A) и P(B) всегда совместны. Действительно, из соотношения P(A ∩ B) = P(A)(B) имеем P(A ∩ B) ≠ 0, а значит и A ∩ B ≠ ∅, что свидетельствует о совместности независимых событий. Однако совместность событий не обязательно влечет их независимость. Из условия A ∩ B ≠ ∅ при P(A ∩ B) ≠ 0 следует лишь, что P(A ∩ B) ≠ 0 и условная вероятность PA(B) ≠ 0. Но может иметь место неравенство PA(B) = P(B), что означает зависимость рассматриваемых совместных событий.
Зависимые события А и В при ненулевых вероятностей P(A) и P(B) могут быть как совместными, так и несовместными. В первом случае A ∩ B ≠ ∅, и поэтому условные вероятности PA(B) и PB(A) не равна нулю, т.е. одно из событий может наступить при условии, что произошло другое событие. Во втором случае A ∩ B = ∅, следовательно, условные вероятности зависимых и несовместных событий PA(B) = PB(A) = 0. Это значит, что пир наступлении события А событие В произойти уже не может, а наступлении события В не может произойти событие А. В то же время из несовместности событий (A ∩ B = ∅) следует их зависимость, что выражается равенством нулю условных вероятностей PA(B) и PB(A). Иначе говоря, если события А и В несовместны, то при наступлении одного из них другое произойти не может, т.е. несовместные событие не могут быть независимыми.
Несовместность совокупности событий A1, A2, ..., An, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия
Ai ∩ Aj = ∅ (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j).
- 81 -
Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий
P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj) (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j),
должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2);
P(A1 ∩ A3) = P(A1)P(A3);
P(A2 ∩ A3) = P(A2)P(A3);
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3).
Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A1, A2 и A3 в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.
Задачи и упражнения
1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?
2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?
3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий:
а) на одной кости четыре очка, а на другой - меньше четырех;
б) на одной кости число очков вдвое больше, чем на другой;
в) сумма очков меньше пяти;
г) сумма очков больше восьми.
4. Какова вероятность открыть замок автоматической камеры хранения при случайном наборе цифр (замок открывается только при определенных значениях четырех десятичных цифр)?
5. Оцените вероятность того, что в группе из 23 студентов, по крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают.
6. Партия из 10 телевизоров принимается в магазине при условии, что случайно выбранные два из них окажутся исправными. Какова вероятность того, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных телевизора?
7. Два стрелка проводят по одному выстрелу, причем вероятности попадания в цель для них равны соответственно 0,8 и 0,9. Найдите вероятность поражения цели обоими стрелками и вероятность поражения цели хотя бы одни из них.
8. Исследуйте на независимость события А и В при следующих испытаниях:
а) из колоды в 52 карты выбирают одну: А - "туз"; В - "бубна";
б) бросают две игральные кости: А - "одно очко на первой кости"; В - "четное число очков на второй кости";
в) бросают три монеты: А - "выпало два герба"; В - "выпало три герба".
- 82 -
9. Исследуйте на несовместность события А и В при бросании игральной кости, если:
а) А - "четыре очка"; В - "четное число очков";
б) А - "четное число очков"; В - "нечетное число очков".
10. Пять карточек, помеченные цифрами от 1 до 5, тщательно перетасовывают. Какова вероятность того, что:
а) трехзначное число, определяемое номерами трех извлеченных наугад карточек, окажется четным;
б) при случайной раскладке всех карт пять мест с номерами от 1 до 5 ни одна карточка не займет места, отмеченного ее номером;
в) при поочередном выборе всех карточек их номера будут появляться в возрастающим порядке.
11. Из 30 выстрелов по цели отмечено 25 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
Данный текст я (w_cat) набираю руками, опечатки LibreOffice Writer, как положено, выделяет красной волнистой, но если "опечатанное" слово совпадает с существующим в словаре (базе) то опечатку я не замечу и не исправлю, вычислите вероятность такой ошибки :).
Список литературы
Великолепный обзор основных идей и методов современной математики дан в трехтомной монографии "Математика, ее содержание, методы и значение", написанной выдающимися советскими математиками и вышедшей в издательстве АН СССР в 1956 г. под редакцией академиков А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова и М.А Лаврентьева. Эта книга является, пожалуй, лучшим образцом сочетания глубины, строгости и доступности изложения. Можно только пожалеть, что изданная сравнительно небольшим тиражом она стала библиографической редкостью.
Аналогичным по содержанию, но более популярным и кратким является сборник статей видных американских ученых "Математика в современном мире" (М. "Мир", 1967). Обращают на себя внимание прекрасно выполненные иллюстрации, которые помогают уяснить смысл сложных математических понятий. Живо и доступно написана книга Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона "Введение в конечную математику" (М. Изд. иностр. лит., 1963), в которой изложение идей и методов современной математики переплетается с большим количеством примеров из жизни, техники, экономики, биологии. Большое удовольствие может доставить читателю увлекательная и остроумная книга У.У. Сойера "Прелюдия к математике" (М. "Просвещение", 1965), которая аннотирована автором как "рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики".