1.8 Диалоги. Из переписки
Здравствуйте, Михаил Васильевич!
Мысленный эксперимент! Допустим, как в левой, так и в правой руке держим по карандашу. Допустим, они оба коричневые, имеют одинаковую длину, ширину, и любимый кот на обоих карандашах сделал по царапине.
Вопрос: можно ли между этими карандашами поставить знак равенства? Казалось бы, можно. А вот и нет! Карандаш, расположенный в одном месте не равен карандашу, расположенному в другом месте.
Именно различие в пространстве делает из них два карандаша. Стоит убрать это различие – и эти два карандаша станут одним карандашом!
В этом смысле, карандаш, расположенный, например, в левой руке будет равен карандашу, который расположен в правой руке, если его переместить в правую руку. Карандаш в левой руке, если его переместить в правую руку = карандаш в правой руке. Но при этом "карандаш в левой руке ≠ карандаш в правой руке".
Здравствуй, Таня!
Теория множеств, по определению, считает два объекта равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это неверно, т. к. два предмета не могут быть равны просто потому, что они должны различаться между собой согласно начального условия, что предметов два.
Другое определение равенства: равенство – тривиальное отношение эквивалентности. Зависимость считается тривиальной, если она не может не выполняться. А эквивалентно то, что взаимооднозначно. Для функции вида "y=2*x", аргументу функции "x=1" однозначно соответствует значение функции "y=2", и значению функции "y=2" однозначно соответствует аргумент функции "x=1". Или, короче, 2 эквивалентно 1. Естественно, что эквиваленция даже с учетом "тривиальности", на роль равенства не подходит.
Эквиваленция попросту никак не оговаривает как именно из аргумента функции "x=1" получается значение функции "y=2" (и ничто иное). Если же это "*2" оговорить, получим отношение равенства.
Именно поэтому будет верным: "если из операнда при воздействии на него оператора следует только образ и ничто иное, то образ – то же самое, что операнд при воздействии на операнд оператора", где образ – то, что получается; операнд – то, из чего получается; оператор – то, благодаря чему из операнда получается только этот образ.
Здравствуй, Таня!
Особого внимания заслуживает логическая эквивалентность. Сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения либо истинны, либо ложны: "(не-А или В) и (А или не-В)", где "А, В" могут принимать значения логического нуля и логической единицы.
Учитывая, что истина и тождество – слова синонимы:
Истина – то же самое, что истина.
Ложь – то же самое, что ложь.
Ложь – не то же самое, что истина.
Истина – не то же самое, что ложь.
Какое отношение имеет логическая эквивалентность к семантике? Ведь никто в здравом уме не скажет, что верблюд – то же самое, что канарейка. Она только в одном: существовать – то же самое, что истина; не существовать – то же самое, что ложь. Никакой иной смысл логическая эквивалентность не несет!
Высказывание "верблюд – то же самое, что канарейка" истинно высказыванию "канарейка – то же самое, что верблюд" и истинно высказыванию "верблюд – не то же самое, что верблюд". И высказывание "верблюд – то же самое, что верблюд" истинно высказыванию "канарейка – то же самое, что канарейка" и истинно высказыванию "верблюд – не то же самое, что не верблюд". А высказывание, например, "верблюд – то же самое, что канарейка" ложно высказыванию "верблюд – то же самое, что верблюд" и ложно высказыванию "канарейка – то же самое, что канарейка".
Думаю, что Гегель о бытии и о небытии думал так: существующее существует ("=" = "="), несуществующее существует ("≠" = "≠"), что вполне согласуется с математикой. Но он мыслил и другую сторону логики – противоречие: существующее не существует ("=" ≠ "="), несуществующее не существует ("≠" ≠ "≠").
Здравствуйте, Владимир!
Ну, что ж, начнем с брадобрея. Более подробно о моем подходе к парадоксам можно ознакомиться в моей статье "С чем идет современная логика в XXI век?". Ее легко найти в Интернете. Начну с того, что я смотрю на парадоксы как на примеры некорректных рассуждений. Все парадоксы я в этом плане не анализировал, но некоторые попытался. В том числе и два варианта парадокса Рассела.
В Брадобрее фишка в том, что отождествляются два разных термина "брить" и "бриться". Первый антирефлексивный, второй – рефлексивный. Указание брадобрею исходит из того, что в языке это различие имеет место. Если же мы, руководимые "свободой мысли", их смешиваем, то получаем парадокс.
Хороший пример того, как склонение одного и того же слова приводит к противоположному значению, шутка Марка Твена: "Нет ничего легче, чем бросить курить, я сам сто раз бросал".
Здравствуйте, Борис Александрович!
Немного детских впечатлений. Лет тридцать назад, еще в школе столкнулся с парадоксом всемогущества и прекрасно помню то удивление, которое этот парадокс у меня тогда вызвал: "может ли бог создать камень, который не сможет поднять"?
Но вернемся к брадобрею, к его неразрешимой проблеме. Вы полагаете, что причина в том, "что отождествляются два разных термина "брить" и "бриться", что "первый антирефлексивный, второй – рефлексивный"".
Действительно, форма глагола "бриться" рефлексивна. Но неопределенная форма "брить" попросту не указывает, кого именно брить. Можно брить как Ваню, так и Маню. От того, кого именно "брить", никак не повлияет на смысл этого "брить". Я хочу сказать, что не вижу никакой разницы: можно брить, в том числе, и себя. Нет никакого парадокса между "брить Ваню, брить Маню, брить себя".
На мой взгляд, или, как Вы говорите, "фишка" в другом. Что говорит нам логика? А то, что закон непротиворечия возлагает ограничения на то, что А не может быть не-А: "А ≠ не-А". И, следовательно, противоречие есть: "А = не-А", либо "А ≠ А".
Теперь уже о брадобрее. Если вместо А подставить "брить", получим в форме тождества "брить – то же самое, что не брить" или в форме эквивалентности "брить тогда и только тогда, когда не брить". И напомню, как это парадокс изначально формулируется в книжке, из которой был он взят: "одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами".
Источником парадоксов является не самореференция, а самореференция с отрицанием! Именно самореференция с отрицанием лежит в основе парадоксов:
Парадокс брадобрея: брить = не брить.
Парадокс Ахиллеса и черепахи: догнать = не догнать.
Парадокс Эватла и Протагора: платить = не платить.
Парадокс всемогущества: может = не может.
Парадокс Рассела: быть элементом = не быть элементом (содержит = не содержит; принадлежит = не принадлежит)
Здравствуйте, Владимир!
Насчет законов логики, о которых Вы пишете, у меня нет возражений. Но надо все же учитывать, что парадокс – это логическое рассуждение, а раз так, то мы должны четко определиться в первую очередь с терминами, которые участвуют в этом рассуждении. В быту никто не запрещает нам слово "брить" понимать в широком смысле, а данный парадокс только указывает на то, что такое понимание в некоторых ситуациях приводит к противоречию.
В "математической" версии парадокса Рассела, как мне представляется, аналогичная ситуация. С самореференцией вопрос более сложный. Может быть, Вы и правы в том, что если допускается самореференция, то не допускается ее отрицание.
Но возможен и другой случай, когда в аксиомах логической системы самореференции нет, но в рамках этой системы можно построить модель с референцией, в которой отрицания допускаются. Извините, но в качестве примера я могу привести математическую модель полисиллогистики, которая описана в моей книге "Логика естественных рассуждений". Там в аксиоматике есть референция типа А=А, но нет циклов (используется один из вариантов частично упорядоченных множеств), но конкретные модели могут быть цикличными, а могут от А вести к не-А. В первом случае следует, что термины, входящие в цикл, эквивалентны, а во втором – что термин А представляет пустое множество. Примеры:
1) в рассуждении мы получили цикл, в который входят термины "существует", "известен", "подтверждается экспериментом", из чего следует, что эти термины эквивалентны. А поскольку это не так, то мы приходим к выводу, что в посылках ошибка.
2) в рассуждении мы получили цепочку от "мои друзья" к "не мои друзья". Поскольку цепочка моделирует отношение включения, то приходим к выводу, что "мои друзья" пустое множество.
Здравствуйте, Борис Александрович!
Я никак не смогу прокомментировать выводы Вашей книги, поскольку ее не читал, а в открытом доступе, как я понимаю, ее нет.
Вы написали, что "возможен и другой случай, когда в аксиомах логической системы самореференции нет, но в рамках этой системы можно построить модель с референцией, в которой отрицания допускаются". Прокомментирую. То, как определил источник всех парадоксов "А = не-А" – лишь самый простой случай. Если мы проследим, например, "Если А, то только В. Если В, то только С. Если С, то только не-А", то увидим всего лишь более завуалированную форму "А = не-А".
Здравствуйте, Борис Александрович!
Математика своим величием обязана тому, что не допускает противоречий в своих рассуждениях. Именно это преимущество позволяет предвидеть, делать однозначные выводы, избегать двусмысленности. И я целиком и полностью поддерживаю это стремление человеческого разума.