581 = 2 + 2 + 2 + 1.
(Такая процедура применяется для формирования двоичного представления числа 581, а именно, приведения его к виду 1001000101, где единицы соответствуют тем степеням двойки, которые присутствуют в таком представлении, а нули - тем степеням, которых нет.) Далее можно заметить, что "показатели" в этом выражении - т. е. 9,6 и 2 - могут быть, в свою очередь, представлены аналогичным образом (9 = 2 + 1, 6 = 2 + 2, 2 = 2); и тогда мы получим (вспоминая, что 2 = 2)
Здесь все еще есть показатель больший, чем двойка - в данном случае это "3", - для которого тоже можно написать разложение
3 = 2 + 1, так что в конце концов мы будем иметь
А теперь мы подвергнем это выражение последовательности чередующихся простых операций, которые будут
(а) увеличивать "основание" на единицу,
(б) вычитать единицу.
Под "основанием" здесь понимается просто число "2", фигурирующее в исходном выражении, но мы можем сделать то же самое и с большими основаниями: 3, 4, 5, 6…..
Давайте посмотрим, что произойдет при применении операции (а) к последнему разложению числа 581, в результате которой двойки становятся тройками:
(что дает - если выписать его в обычной форме - сороказначное число, начинающееся с 133027946…). После этого мы применяем (б) и получаем
(т. е. по-прежнему сорокозначное число, начинающееся с 133027946…). Далее мы выполняем (а) еще раз и получаем
(это уже значительно большее число, состоящее из 618 знаков, которое начинается с 12926802…). Следующая операция - вычитание единицы - приводит к выражению
(где тройки получаются по той же причине, что и девятки в обычной десятичной записи, когда мы получаем 9999, вычитая 1 из 10 000). После чего операция (а) дает нам
(число, которое имеет 10923 знака и начинается с 1274…). Обратите внимание, что коэффициенты "3", которые возникают при этом, с необходимостью меньше, чем основание (в данном случае 5), и не изменяются с возрастанием последнего. Применяя (б) вновь, имеем число
над которым мы опять производим последовательно действия (а), (б), (а), (б),… и т. д., насколько возможно. Вполне естественно предположить, что этот процесс никогда не завершится, потому что каждый раз мы будем получать все бо́льшие и бо́льшие числа. Однако это не так: как следует из поразительной теоремы Гудстейна, независимо от величины исходного числа (581 в нашем примере), мы в конце концов получим нуль!
Кажется невероятным, но это так. А чтобы в это поверить, я рекомендовал бы читателю самостоятельно проделать вышеописанную процедуру, для начала - с числом "3" (где мы раскладываем тройку как 2 +1, что дает последовательность 4, 3,4, 2, 1, 0); а затем - что более важно - попробовать то же самое с "4" (при этом стартовое разложение в виде 4 = 2 приводит к вполне закономерно возрастающему ряду 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84…, который доходит до числа из 121210 695-ти знаков, после чего уменьшается вплоть до нуля!).
Но что кажется еще более удивительным: теорема Гудстейна фактически является теоремой Геделя для той самой процедуры, которую мы изучали в школе под названием математической индукции, как было доказано в свое время JI.Кирби и Дж. Парисом. Как вы, должно быть, помните, математическая индукция позволяет установить справедливость некоторого математического утверждения S(n) для n = 1, 2, 3, 4, 5… Доказательство проводится в два этапа: сначала нужно проверить справедливость S(l), а затем показать, что, если верно S(n), то должно выполняться и S(n + 1). Приняв процедуру математической индукции за Р, Кирби и Парис доказали, что тогда G(P) может иметь смысл теоремы Гудстейна.
Следовательно, если мы считаем процедуру математической индукции достоверной (с чем едва ли можно не согласиться), то мы должны верить и в справедливость теоремы Гудстейна - несмотря на то, что при помощи одной лишь математической индукции доказать ее невозможно.
"Недоказуемость" теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов "доказательства", которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется "трансфинитной индукцией". В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с "причиной", по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция (б) безжалостно "отщипывает" по кусочку от огромной башни "показателей" до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов.
Все это говорит о том, что способность понимать никоим образом не может сводиться к некоторому набору правил. Более того, понимание является свойством, которое зависит от нашего сознания; и что бы не отвечало в нас за сознательное восприятие - это должно самым непосредственным образом участвовать в процессе "понимания". Тем самым, в формировании нашего сознания с необходимостью есть элементы, которые не могут быть получены из какого бы то ни было набора вычислительных инструкций; что, естественно, дает нам веские основания считать, что сознательное восприятие - процесс существенно "невычислимый".
Возможные "узкие места" в этом рассуждении сводятся к следующему. Наша способность (математического) познания может быть результатом вычислительной процедуры или непознаваемой из-за своей сложности; или не непознаваемой, но правильность которой, однако, не может быть установлена; или же ошибочной, хотя почти правильной. Говоря об этом, мы должны прежде всего установить, откуда могут возникать подобные вычислимые процедуры. В книге "Тени разума" я достаточно подробно рассмотрел все такие "узкие места", и я хотел бы порекомендовать эту книгу (равно как и статью Beyond the Doubling of a Shadow в журнале Psyche) всем читателям, кому интересно было бы ближе познакомиться с настоящим предметом.
Если мы согласимся с тем, что в нашей способности познавать - а следовательно, и в нашей сознательной деятельности в целом - есть нечто, выходящее за пределы чисто алгоритмических действий, то следующим шагом мы должны попытаться выяснить, в каких из наших физических действий может проявляться "существенно неалгоритмическое поведение". (При этом мы негласно предполагаем, что изучение именно "физического действия" определенного вида поможет нам разгадать тайну происхождения сознания.) Я пытаюсь доказать, что таким "неалгоритмическим действиям" нельзя найти место в рамках общепринятых сегодня физических теорий. А значит, мы должны искать соответствующее место, где в научной картине существует серьезный пробел. И я утверждаю, что это "белое пятно" лежит где-то на границе между "субмикроскопическим" миром, в котором правит квантовая механика, и непосредственно воспринимаемым нами макромиром, подчиняющимся законам классической физики.