2n + 1 ÷ 2n (n + 1) ÷ 2n (n + 1) + 1
Однако эта формула, полученная при наблюдении за «гномоном», не является достаточно универсальной, что показывает следующий пример 8:15:17. Универсальной формулой, из которой выводится пифагорейская путем подстановки m = n + 1, является:
m2 - n2 ÷ 2mn ÷ m2 + n2,
где m > n, а "÷" знак пропорции.
Поскольку эта формула легко выводится из теоремы Пифагора (применяя некоторые алгебраические приемы, которые, по-видимому, уже были известны ранним пифагорейцам) и поскольку она, очевидно, не была известна не только Пифагору, но и Платону (который, согласно Проклу, вывел другую неуниверсальную формулу), то можно сделать вывод о том, что «теорему Пифагора» в общем виде не знал ни Пифагор, ни даже Платон. (Менее радикальный взгляд на эту проблему изложен в книге Т. Хита: Т. Heath. A History of Greek Mathemathscs, 1921, vol. 1, p. 80-82. Формула, которую я назвал «универсальной», принадлежит Евклиду. Ее можно получить из излишне усложненной формулы, которую Хит приводит на с. 82 своей книги, сначала получив значение длины трех сторон треугольника и умножив полученные результаты на 2/m, а затем произведя замену m на n и p на d.)
Открытие иррациональности значения квадратного корня из двух (об этом открытии Платон упоминает в «Гиппии Большем» и в «Меноне» см. прим. 10 к гл. 8, а также Аристотель. «Первая Аналитика», 41а 26 и след.) доказало невозможность осуществления пифагорейской программы «арифметизации» геометрии, а вместе с тем, по-видимому, и нежизнеспособность самого пифагорейского Порядка. Сведения о том, что это открытие сначала не подлежало разглашению, подтверждаются тем фактом, что Платон первоначально все еще называл иррациональное термином «αρρητοσ», т.е. секрет, сокровенная тайна см. «Гиппий Больший», 303 b/с, «Государство», 546 с. (Позднее он стал употреблять термин «несоизмеримость» см. «Теэтет», 147 с, и «Законы», 820 с. Термин «αλογοσ» впервые появился, по-видимому, у Демокрита, написавшего сочинение из двух книг под названием «Об иррациональных линиях и атомах» или «О несозмеримых линиях и телах», которое было утеряно. Платону был известен термин «αλογοσ», о чем свидетельствует презрительное упоминание названия труда Демокрита в «Государстве», 534 d, но он никогда не использовал его в качестве синонима термину «αρρητοσ». Первое несомненное использование термина «αλογοσ» в этом смысле мы находим у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9. См. также книгу Т. Heath, op. cit., vol. I, p. 84 и след., р. 156 и след. и мое «Дополнение I» в конце тома 1.)
Крушение пифагорейской программы арифметизации геометрии привело, по-видимому, к разработке аксиоматического метода Евклида, предназначенного, с одной стороны, спасти от краха то, что еще можно было спасти в математике (в том числе и метод рациональных доказательств), и с другой стороны, ассимилировать факт несводимости геометрии к арифметике. Поэтому весьма вероятно, что Платон сыграл чрезвычайно важную роль в переходе от древнего пифагорейского метода к методу Евклида фактически, он был одним из первых создателей специфически геометрической методологии, цель которой состояла в покрытии издержек краха пифагореизма. Все это, конечно, следует
рассматривать лишь как смелую историческую гипотезу, хотя некоторые аргументы в ее пользу можно найти у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9 (об этом фрагменте я уже упоминал ранее), особенно если сравнить этот отрывок с тем, что сказано в «Законах», 818 с, 895 е (о четном и нечетном), 819 е/820 а и 820 с (о несоизмеримости). Аристотель пишет: «Арифметика [исследует], что такое нечетное и четное геометрия что такое несоизмеримое» (см. также «Первую Аналитику», 41а 26 и след., 50а 37, и «Метафизику», 983а 20, 1061b 1-3, где проблема несоизмеримости трактуется как принадлежащая к геометрии, и 1089а, где, как и во «Второй Аналитике», 76b 40, есть намек на «Теэтет», 147 d, в котором говорится о свойствах квадрата со стороной в одну стопу.) То, что Платона глубоко интересовала проблема иррациональности, хорошо показывают два упомянутых ранее отрывка: «Теэтет», 147 с-148 а, и «Законы», 819 d-822 d, где он говорит о том, что ему жаль тех греков, которые не дожили до открытия великой проблемы несоизмеримости величин.
Теперь я хотел бы высказать гипотезу о том, что платоновская «теория первичных тел» (см. «Тимей» 53 с-62 с, возможно, даже вплоть до 64 а, а также «Государство», 528 b-d) была одним из средств решения этой проблемы. Эта теория, сохраняя, с одной стороны, пифагорейский атомизм, т.е. учение о неделимых единицах («монадах»), которые фигурировали также и в более поздних атомистических учениях, с другой стороны, ассимилирует иррациональные величины (квадратные корни из двух и трех), так как закрыть глаза на их присутствие в мире было уже невозможно. В этой теории говорится о двух труднопостижимых треугольниках: один из них образуется двумя сторонами и диагональю квадрата и имеет гипотенузу, кратную квадратному корню из двух, а другой получается путем проведения из вершины равностороннего треугольника высоты, длина которой кратна квадратному корню их трех. Учение о том, что эти два иррациональных треугольника являются пределами («περασ» см. «Менон», 75 d-76 а) или формами всех элементарных физических тел может быть названо одной из центральных физических доктрин «Тимея».