qi γμ (1 ± γ5) q'i ,
и другие составные операторы: операторы для π-мезона или для протона
qi γ5di , εijkuiujdk
и т.д. Дело в том, что эти операторы локальны, хотя они и составные; если модель верна, то наблюдаемые операторы в физическом гильбертовом пространстве ΧPh тоже локальны. Это существенно при выводе 2b) всех стандартных результатов "старомодной" адронной физики дисперсионных соотношений при фиксированном t, ограничений типа фруассаровского предела и т.д., которые, будучи проверены экспериментально, привели к впечатляющим успехам.
2b См. работы [44, 111], в которых можно найти ссылки на соответствующую литературу.
Отметим еще одно преимущество КХД хотя оно и носит более умозрительный характер, чем упомянутые выше. КХД допускает естественное обобщение до теории Великого объединения. Поскольку SUc(3) более широкая группа, чем стандартная электрослабая группа SU(2) х U(l), при некотором масштабе энергий все константы связи могут стать равными по величине. Пока этот масштаб энергий (1014 ГэВ) намного выше экспериментальных возможностей, и предсказания моделей Великого объединения не противоречат существующим экспериментальным результатам.
§ 2. Теория возмущений, S-матрица и функции Грина; теорема Вика
В этом параграфе очень кратко рассматриваются основные вопросы релятивистской теории поля. Конечно, изложить теорию поля сколько-нибудь детально в столь малом объеме невозможно. Поэтому настоящий параграф
служит главным образом для того, чтобы ввести необходимые обозначения и наметить в общих чертах круг вопросов, знакомство с которыми необходимо для понимания материала, излагаемого ниже. Подробное изложение теории квантованных полей содержится, например, в книгах [40, 45, 172].
Теория поля определяется заданием соответствующего лагранжиана. Если Φi - поля, фигурирующие в теории, то лагранжиан является функцией от полей Φi и их пространственно-временных производных Φi. Лагранжиан (в действительности представляет собой плотность лагранжевой функции) принято разбивать на два слагаемых 0 и int; при этом член 0 описывает динамику свободных полей (он получается из лагранжиана , если принять все взаимодействия равными нулю), а член int который определяется как разность int = - 0 , описывает взаимодействия между полями. Например, в квантовой хромодинамике полный лагранжиан выражается в виде (1.11), а лагранжиан свободных полей записывается в следующем виде:
0
=
q
(x)(i
-
m
q
)q(x)
-
¼
(
μ
B
ν
(x) -
ν
B
μ
(x))
q
a
q
a
×
(
μ
B
aν
(x) -
ν
B
aμ
(x)).
Кроме основных, или элементарных, полей Φi, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей Φi), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей Φi и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)γμq'(x). Конечно, и сам лагранжиан (х) является составным локальным оператором.
Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля Φi по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид
Φ
i
(x)
=
C
(n)
(x)a
n
+
C
(n)
(x)
a
+
,
i
i
n
n
n
где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля Φ отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид
q(x)
=
1
d
p
{
e
-ipx
u(p,σ)a(p,σ) + e
ipx
v(p,σ)
a
+
(p,σ)
}
,
(2π)
3/2
2p
0
σ
где u и v - обычные дираковские спиноры, а a+ (a+) - операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : Φ1(x1)Φ2(x2): получается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутационные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается
:Φ
1
(x
1
)Φ
2
(x
2
):
n,n'
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)a
n
a
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)
a
+
n
a
+
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n
a
n'
+
(-1)
δ
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n'
a
n
,
Здесь δ = 1 для фермионов и δ = 0 для бозонов.
Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :Φ1(x1) Φn(xn): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :Φ1(x1)Φ2(x2): ) ( :Φ3(x3)Φ4(x4): ) : производится
непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.
Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально3), т. е. если операторы O1,,On локальны, то и виковское произведение этих операторов :O1(x)On(x): локально.