ƒ
a
1
(x,Q
2
)=2xW
a
1
,
ƒ
a
2
(x,Q
2
)=
ν
m
2
h
W
a
2
,
ƒ
a
3
(x,Q
2
)=
Q2
2mh
W
a
3
,
(17.5)
где индекс а обозначает процессы ( e/μh, νh, νh. Иногда вместо структурной функции ƒa1 используется продольная структурная функция
Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций ƒai, небрегая импульсами qμ и qν (которые при свертке с лептонным тензором Lμν обращаются в нуль)27а):
27а) В этом параграфе 4-вектор в координатном пространстве обозначен буквой z в отличие от бьеркеновской переменной x .
1
2 (2π)2 d4z eiqz p|[J
μ
a (z)+,J
ν
a (0)]|p
=
ν
q2 gμνƒ
a
1 +
pμpν
ν ƒ
a
2 +iεμναβ
qαpβ
q2 ƒ
a
3
=-
νgμν
q2 ƒ
a
L +
ν
q2 gμν+
pμpν
ν
ƒ
a
2 +iεμναβ
qαpβ
q2 ƒ
a
3 .
(17.7)
В случае e+e- -аннигиляции удобно рассматривать хронологичесжое произведение адронных токов
Τ
μν
q
(p,q)=
i
(2π)
3
d
2
z e
iqz
p|
Τ
J
μ
a
(z)
+
J
ν
a
(0)|p.
(17.8 а)
Если тензор Τμν записать в виде
Τ
μν
a
=
ν
q2
g
μν
Τ
a
1
(x,Q
2
)+
pμpν
ν
Τ
a
2
(x,Q
2
)
+
i
ε
μναβ
qαpβ
q2
Τ
a
3
(x,Q
2
),
(17.8 б)
то, как показано на рис. 12, д, е,
ƒ
a
i
=
1
2π
Im
Τ
a
i
.
(17.8 в)
Рассмотрим бьеркеновский предел в так называемой системе бесконечного импульса:
p=(p
0
,0,0,p
0
);
q=(ν/2p
0
,
Q
2
,0,ν/2p
0
);
p
0
ν
½
.
(17.9)
Записав произведение qz в виде
qx=
1
2
(q
0
-q
3
)(z
0
+z
3
)+
1
2
(q
0
+q
3
)(z
0
-z
3
)-
q
1
z
1
,
мы видим, что случай zq=0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям
z
0
±z
3
1/ν
½
,
z
1
1/ν
½
.
Иными словами z20 28).
28) В действительности компоненту z2 можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z20 .
Следовательно, в ведущем порядке по константе связи αs можно написать (матрица S определена в (21.12))
μ(2,Q²)
=
Q²
S
(2)
b(2),
b(2)=b
1
0
с некоторым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q² . Таким образом,
1
0
x ƒ
F
2
(x,Q²)
=
Q²
δ
3nƒ
16+3nƒ
,
1
0
x ƒ
V
2
(x,Q²)
=
Q²
δ
16nƒ
16+3nƒ
.
(23.7)
К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид
K[α
s
(Q²)]
-d-(2)
где коэффициент K пока вычислить не удается. (Но поправки порядка O(αs) к выражениям (23.7) известны; см., например, [194].) Выражения (23.7) принадлежат к числу тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Если бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся бы между кварками и был бы справедлив результат
1
0
x ƒ
F
²
(x,Q²)δ ,
который, скажем, для кварков четырех ароматов nƒ=4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса νI-рассеяния [87] получено значение
1
0
x ƒ
exp
²
(x,Q²)0.43±0.03, (Q² от 30 до 100 ГэВ²),
а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно38а)
38а) Заметим, что нейтрино ν или электроны (мюоны) e (μ), используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют экспериментально определить только структурную функцию ƒF. Для непосредственного измерения структурной функции ƒV необходимы пробные частицы, взаимодействующие с глюонами.
1
0
x ƒ
th
²
(x,Q²)
12
28
=0.43.
Анализ этих соотношений в ведущем порядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].
2. Поведение структурных функций в крайних точках
Начнем с рассмотрения поведения несинглетных структурных функций в пределе x1. Предположим, что функции ƒNS обладают асимптотическим поведением вида
ƒ
NS
(x,Q²)
x1
A(Q²)(1-x)
ν(αs)
,
(23.8)
к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно доказать в рамках квантовой хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь 38б). Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций
в пределе x1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях n. Легко убедиться, что
38б) См. работу [54] и цитируемую там литуратуру.
d(n)
x
-16
33-2nƒ
log n-
3
4
+γ
E
+O
1
n
.
(23.9)
Используя асимптотику (23.8), для моментов получаем выражение
μ
NS
(n,Q²)
n
A(Q²)
Γ(n-1)Γ[1+ν(αs)]
Γ[n+ν(αs)]
,
а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим
μ
NS
(n,Q
2
)
μNS(n,Q
2
0 )
n
exp
log
α
s
(Q
2
)
αs(Q
2
0 )
16
33-2nƒ
log n-
3
4
+γ
E
.
Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов A и ν и выражения для асимптотики структурной функции в пределе x1:
ƒ
NS
(x,Q²)
x1
A
0NS
[α
s
(Q²)]
-d0
(1-x)νNS(αs)
Γ[1+νNS(αs)]
(23.10 а)
ν
NS
(α
s
)
=
ν
NS0
-
16
33-2nƒ
log α
s
(Q²) ,
d
0
=
16
33-2nƒ
3
4
-γ
E
.
(23.10 б)
Константы ν0 и A0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра ν0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].
Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид
ƒ
F
(x,Q²)
x1
A