u
5МэВ,
20m̂
d
10МэВ,
400m̂
s
200МэВ.
Численное значение параметра обрезания Λ можно было бы найти, сравнивая вычисленное теоретически значение величны R с измеренным значением, но точность экспериментальных данных довольно мала (рис. 11). Для этой цели можно использовать другие процессы, например процессы глубоконеупругого рассеяния электронов или нейтрино или распады кваркониев Ψ и Y. Определение эффективных масс кварков рассматривается в § 32.
§17. Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель
Рассмотрим процесс l+hl'+all, где l и l' лептоны, h -адронная мишень, а символ all обозначает суммирование по всем возможным конечным состояниям Γ (рис. 12, а). Если начальный и конечный лептоны совпадают, т.е. l=l'=e (электрон) или μ (мюон), (рис. 12, 6) то этот процесс представляет собой исследование адрона h в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию, а соответствующим оператором является электромагнитный ток
J
μ
em
=
q
Q
q
q
γ
μ
q;
int,em
=eJ
μ
em
A
μ
.
Рис. 12. Диаграммы, описывающие процесс глубоконеупругого рассеяния.
Если l=νμ (нейтрино), a l'=μ (мезон) (рис. 12, в ), то процесс обусловлен слабым заряженным током
J
μ
w
=
u
γ
μ
(1-γ
5
)d
θ
+
c
γ
μ
(1-γ
5
)d
s
+ ,
int,w
=
1
22
g
w
J
μ
w
W
μ
;
константа слабого взаимодействия gw удовлетворяет соотношению g2w/M2w=42GF, где GF = 1,027-1протон, Мw - масса векторного бозона, а
d
θ
=d cosθ
C
+ s sinθ
C
,
s
θ
= - d sinθ
C
+ s cosθ
C
.
Если l=l'=νμ (нейтрино), то процесс вызван слабым нейтральным током (рис. 12, г); тогда в стандартной теории электрослабых взаимодействий имеем
J
μ
Z
=
1
2
-
4sin2θw
3
u
γ
μ
u+
-
1
2
+
2sin2θw
3
d
γ
μ
d
+
1
2
u
γ
μ
γ
5
u
-
d
γ
μ
γ
5
d
int,Z
=
e
2cosθwsinθw
J
μ
Z
Z
μ
,
где sin2θω = 0,22.
Введем бьеркеновские переменные
Q
2
=-q
2
,
ν=pq ,
x=Q
2
/2ν ;
заметим, что ведачину s в бьеркеновских переменных можно записать в виде
s=p
2
Γ
=-Q
2
+m
2
h
+2ν=2ν{1+m
2
h
/2ν-x} .
Предел глубоконеупругого рассеяния, или бьеркеновский предел, соответствует значениям Q2 , νΛ2 при фиксированном х = Q2/2ν. Используя стандартные правила диаграммной техники, амплитуду рассеяния, например, для случая e/μ можно записать в виде
Τ
e+he+Γ
=
2α
q2
u
(k',σ')γ
μ
u(k,σ)
×
(2π)
2
δ(p+q-p
Γ
)
Γ|J
μ
(0)|p,τ .
(17.1)
Здесь σ (σ') спины падающего (рассеянного) электрона, а τ - спин адрона-мишени h. Отметим ковариантный характер нормировки векторов состояний (см - приложение Ж):
p',τ'|p,τ
=
2p
0
δ
ττ'
δ(
p-
p').
Для неполяризованных частиц сечение процесса e+he+all выражается через лептонный Lμν и адронный Wμν тензоры (массами лептонов мы всюду пренебрегаем)26а)
26а Множители 1/2 в формулах (17.2) возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и "спиральности" виртуального фотона.
L
μν
=
1
2
σσ'
u
(k',σ')γ
u
u(k,σ)
[
u
(k',σ')γ
u
u(k,σ)]
*
=
2(k
μ
k'
ν
+k
ν
k'
μ
-kk'g
μν
) ,
W
μν
(p,q)
=
1
2
1
2
τ
Γ
(2π)
6
δ(p+q-p
Γ
)
p,τ|J
μ
(0)
+
|Γ
×
Γ|J
ν
(0)|p,τ.
(17.2 а)
Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток Jν+ удовлетворяет равенству Jν+=Jν, но мы записали выражение (17.2а) в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение (17.2а) можно записать в другом виде 26б
26б) В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу (17.2 б) сумму по полному набору состояний ΣΓ|ΓΓ| и заметив, что в силу закона сохранения энергии-импульса вклад второго слагаемого равен нулю.
W
μν
(p,q)=
1
2
(2π)
2
d
4
ze
iqz
p|[J
μ
(z)
+
,J
ν
(0)]|p,
(17.2 б)
где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени τ .
Рассмотрим общий случай слабых или электромагнитных токов. Общее выражение для тензора Wμν, записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид
W
μν
(p,q)
=
(-g
μν
+q
μ
q
ν
/q
2
)W
1
+
1
m
2
h
(p
μ
-νp
μ
/q
2
)(p
ν
-νq
ν
/q
2
)W
2
+
i
ε
μναβ
pαqβ
2m
2
h
W
3
.
(17.3)
Другие возможные члены при свертке с лептонным тензором Lμν обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид26в)
26в) Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния μ-мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.
dσe
dΩdk'0
=
α
2
4mhk
2
0 sin4(θ/2)
W
e
2
cos
2
θ
2
+2W
e
1
sin
2
θ
2
,
(17.4 а)
dσν/ν
dΩdk'0
=
G
2
F k'
2
0
2π2m
h
W
ν±
2
cos
2
θ
2
+2W
ν±
1
sin
2
θ
2
±
k0+k'0
2mh
W
ν±
3
,
(17.4 б)
где θ угол между векторами k и k' , dΩ= d cos θdφ, в формуле (17.4 б) знаки +() относятся к рассеянию ν(ν), GF постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу W-бозона:
G
F
=
2
g
2
w
/8M
2
w
.
Функции Wi являются инвариантами и зависят от переменных Q2 и ν. Удобно определить структурные функции 27)
27) Определенные таким образом функции ƒi несколько отличаются от стандартных функций F, а именно ƒ1=2xF1, ƒ2=F2, ƒ3=F3. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Функции ƒ называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с долей импупьса x . Прим. перев.)