Обнаруженные антиномии, кризис интуитивной очевидности аксиом, логицистские трудности, практичный, но не окончательный характер непротиворечивых теорий все это подвигло Гильберта на создание программы, в рамках которой доказательство неотносительно, а «прямо» и «абсолютно» для аксиоматической системы. Поскольку классическая математика сводилась к трем большим аксиоматическим системам арифметике, анализу и множествам, то естественно, что Гильберт начал с доказательства непротиворечивости арифметики, чтобы затем перейти к анализу и теории множеств. После Фреге был неизбежен скрупулезный анализ всех ингредиентов, лингвистических и логических механизмов развития теории. Все это ведет к полной формализации теории.
Необходимо заметить, что формализация теории не означает ее символизацию. Формализовать теорию означает раздробить язык, введя в качестве правил формализации правила манипуляции принятыми формулами. Теория принимает форму чистого исчисления, где нет никаких ассоциаций с символами и их выражениями. А если все так, то непротиворечивость теории можно отождествить с невозможностью прохождения всей демонстративной цепочки. Утверждение при этом совпадет с отрицанием, что будет противоречием. Следовательно, полная аксиоматизация теории ведет к формализации и такой логике, назначение которой конструировать эту теорию.
Так какими же средствами мог Гильберт провести критический анализ логики в своей метаматике, если не с помощью той же логики? Разве это не порочный круг? И не к той же ли очевидности и интуиции прибег он для доказательства непротиворечивости? Гильберт пытался обосновать процедуры финитистскими методами, частично арифметическими. Финитистские методы сводятся к элементарным и интуитивным процедурам комбинаторного типа, используемым для конечного числа объектов и определяемых функций. Интуиция возвращена как средство обоснования математики, которая, как оказалось, всего лишь упрощает элементарные операции любого теоретическою исследования.
Идеи Гильберта приняли многие талантливые математики, среди которых П. Бернайс (P. Bernays, 18881977), Дж. Гербрандт (J. Herbrandt, 1908-1931), В. Аккерман (W. Ackermann, 18981962), Дж. фон Нейман (J. Neumann, 19031957). Однако в 1931 г. Курт Гёдель (19061978) показал, что желаемую полноту аксиоматической теории чисел получить невозможно. Более того, формула логического исчисления, способного формализовать элементарную арифметику, недоказуема как формула, выражающая ее последовательность. Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоящее поражение программы Гильберта. Гёдель показал невозможность чисто синтаксического доказательства непротиворечивости формальной системы. Гарантию такой логической последовательности теперь стали искать в интерпретациях и моделях исчисления.
1.3. Семантика Тарского и интуиционизм Брауэра
Нельзя не сказать несколько слов об интуиционизме в математике нашего столетия. Если Фреге и Рассел считали математические объекты объективно существующими, а Гильберт существующими считал только правильно определенные объекты, то голландец Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (18811966) полагал математический объект существующим только в случае, если удается его сконструировать или указать процедуру построения похожего
объекта. Эта интуиционистская концепция запрещает возвращение к актуально бесконечному. Если и говорится о бесконечном, то о потенционально бесконечном, и никогда не об актуально данном. С другой стороны, если существование математического объекта означает его реализованную конструкцию, то этот тип доказательства известный «закон исключенного третьего» не принимает. Практика показывает, что если математические объекты проходят интуитивный контроль, то опасности антиномий удается избежать. Казалось, что интуиционизм отказывается от большей части классической математики. В сегодняшней математике интуиционизм образует одно из интереснейших и плодотворных течений.
2. РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ В XX ВЕКЕ
2.1. Общие вопросы
2.2. Эйнштейн и теория относительности
Однако в 1905 г. А. Эйнштейн (18791955) опубликовал историческую статью «К электродинамике движущихся сред», где были сформулированы принципы частной теории относительности. «Явления в электродинамике, писал он, так же, как и в механике, не обладают свойствами, относящимися к идее абсолютного покоя... законы электродинамики и оптики распространяются на все системы отсчета, включая механические». Эйнштейн предложил в качестве постулата другой тезис, согласно которому «свет распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью, которая не зависит от движения испускающего свет тела». Первый постулат элиминирует эфир, второй видимым образом ему противоречит. Однако Эйнштейн переосмысливает традиционные понятия пространства и времени. Контраст с привычным опытом демонстрируют следующие теоремы:
длина тела, находящегося в движении, больше длины покоящегося тела;
два одновременных по отношению к наблюдателю явления могут быть неодновременными один по отношению к другому;