Но существует принципиальная разница между нашим мысленным экспериментом с печатными машинками, библиотекой Борхеса и последовательностью цифр числа π. Различие в том, что в первом случае речь идет о книгах или текстах конечной длины, а число знаков π бесконечно.
Ни одна обезьяна в нашем эксперименте не сможет напечатать π и ни одна библиотека, сколь велика бы она ни была, не сможет вместить число π и все его знаки. Мы мельком взглянули на бесконечность, но бесконечность, заключенная в числе π, смотрит на нас невозмутимая, недоступная.
Если число является нормальным во всех системах счисления, говорят, что оно является абсолютно нормальным.
Когда японский специалист Канада вычислил триллион знаков π, он подсчитал, сколько раз встретилась каждая цифра:
Десятичная цифра Частота среди первого триллиона знаков π0 99 999 485 134
1 99 999 945 664
2 100 000 480 057
3 99 999 787 805
4 100 000 357 857
5 99 999 671 008
6 99 999 807 503
7 99 999 818 723
8 100 000 791469
9 99 999 854 780
Итого
1000 000 000 000
Распределение цифр, продемонстрированное Канадой, показывает, что π не является нормальным, хотя анализ первого триллиона знаков может показаться недостаточным.
Одно дело предполагать, другое доказать. Нормальность числа π, несмотря на все предположения, доказать пока не удалось.
Фактически не доказана нормальность ни одного из этих чисел: π, е, 2, log2, ни даже числа, описывающего золотое сечение (Ф).
Ниже мы приведем примеры чисел, о которых достоверно известно, что они являются нормальными, но эти числа были специально созданы человеческим гением. В 1917 году польский математик Вацлав Серпинский (18821969) нашел первое нормальное число.
Так называемая константа Хайтина
Ω = 0,00787499699
является вероятностью того, что случайно выбранная программа на машине Тьюринга остановится. Ее определение достаточно сложно. Чтобы понять его, необходимо знать, как работают сумматоры, как обрабатываются биты программы, каков принцип действия машины Тьюринга и многое другое. Ω является нормальным числом, пусть даже его определение заставляет предполагать обратное.
Нормальные числа встречаются не так уж редко: их количество бесконечно. Число элементов множества нормальных чисел соизмеримо с количеством вещественных чисел. Почти все числа являются нормальными, но их очень сложно обнаружить математически. Предполагается, что любое алгебраическое иррациональное число является нормальным.
АНДРЕЙ КОЛМОГОРОВ (19031987)Андрей Колмогоров родился в Тамбове. Его мать умерла при родах, отца отправили в ссылку за участие в революционном движении, и мальчика воспитывали сестры матери. Уже в 1930-е годы он стал известен в мировых математических кругах благодаря публикации «Основных понятий теории вероятностей», где заложил фундамент этого раздела математики. Его известность возросла еще больше, когда вместе с одним из учеников, Владимиром Арнольдом (19372010), он решил тринадцатую проблему Гильберта (в 1900 году Давид Гильберт, лучший математик мира того времени, опубликовал список из 23 крупнейших задач математики, не решенных на тот момент). Среди разделов математики, которым Колмогоров уделял наибольшее внимание, отметим теорию случайных процессов и цепи Маркова. Его важнейшим вкладом в науку стала теория сложности, или теория вероятностей, по сути, две стороны одной медали. В последние годы жизни, став непререкаемым авторитетом российской математики, он занимался этими теориями и прикладной математикой.
Это не выполняется для числа π, так как существуют конечные и относительно простые алгоритмы по расчету его знаков, причем отдельных знаков, находящихся на определенных позициях. Получается, что число π не может быть абсолютно случайным. Например, существует программа из
158 символов, позволяющая рассчитать 2400 знаков π. Проще говоря, можно сказать, что π является случайным, но не абсолютно случайным.
Последовательность знаков π кажется нам подчиненной воле случая. До сих пор не найден образец или эталон, который позволил бы определить, какая цифра находится на данной конкретной позиции. Да, для этого существуют алгоритмы, использующие формулу ВВР и аналогичные, но не существует никакого эталона или образца. Предполагается, что π является «не абсолютно случайным», но доказательство этому до сих пор не найдено.
Если бы любая последовательность знаков π была случайной, π являлось бы нормальным числом. Но обратное в общем случае неверно: число может быть нормальным и очевидно не являться случайным. Так называемое число Чамперноуна, о котором мы поговорим несколько позже, является нормальным, но не случайным, так как способ его построения объясняется несколькими словами.
Вернемся ненадолго к Карлу Сагану и его роману «Контакт». В этом романе инопланетяне поручают доктору Эрроуэй найти некое сообщение предположительно божественного происхождения, которое с момента появления Вселенной зашифровано в самой природе, точнее в знаках π (причем записанных по основанию И, но не будем углубляться в детали). Начиная с определенного знака, спустя много миллионов цифр после запятой, цифры складываются в четкую последовательность из нулей и единиц. Если расположить их определенным образом, то получится изображение квадрата со вписанной в него окружностью. Является ли существование подобного квадрата доказательством существования Творца?