2. Уравнение переноса излучения.
Выше уже было сказано, что в пустом пространстве интенсивность излучения не меняется вдоль луча. Теперь мы допустим, что пространство заполнено средой, способной поглощать и испускать лучистую энергию. В таком случае интенсивность излучения будет меняться вдоль луча, и мы сейчас выведем уравнение, описывающее это изменение. Однако предварительно введём в рассмотрение величины, характеризующие поглощательную и испускательную способность среды.
Пусть на площадку σ, расположенную перпендикулярно к направлению излучения, падает излучение интенсивности ν внутри телесного угла ω в интервале частот от ν до ν+ν в течение времени . Количество энергии, падающее на площадку, будет равно νσ ω ν . Если среда способна поглощать излучение, то на пути из указанного количества энергии будет поглощена некоторая доля, пропорциональная . Мы обозначим эту долю через αν. Таким образом, количество поглощённой энергии на пути будет равно
α
ν
ν
σ
ω
ν
.
(1.9)
Величина αν называется коэффициентом поглощения. Так как доля поглощённой энергии αν есть величина безразмерная, то коэффициент поглощения αν имеет размерность, обратную длине. Заметим, что коэффициент поглощения зависит от частоты излучения и координат данной точки, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде).
Если среда способна также излучать энергию, то количество энергии, излучённое объёмом внутри телесного угла ω в интервале частот от ν до ν+ν в течение времени , будет пропорционально ω ν . Мы обозначим это количество энергии через
ε
ν
ω
ν
(1.10)
и назовём величину εν коэффициентом излучения. Следовательно, коэффициент излучения есть количество энергии, излучаемое единичным объёмом в единичном телесном угле в единичном интервале частот за единицу времени. Коэффициент излучения зависит от частоты ν, от координат данной точки и, вообще говоря, от направления излучения.
Считая величины αν и εν заданными, найдём, как меняется интенсивность излучения вдоль луча. При этом будем предполагать, что поле излучения стационарно, т.е. не меняется с течением времени.
Возьмём элементарный цилиндр, ось которого направлена по данному лучу. Пусть площадь основания,цилиндра
равна σ, а высота равна (причём высота мала по сравнению с линейными размерами основания). Рассмотрим излучение, входящее в цилиндр и выходящее из него внутри телесного угла ω в интервале частот от ν до ν+ν за время . Если интенсивность излучения, входящего в цилиндр, есть ν, то количество входящей в цилиндр энергии будет равно
ν
σ
ω
ν
.
Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через ν+ν. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно
(
ν
+
ν
)
σ
ω
ν
.
Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём =σ . Таким образом, получаем
(
ν
+
ν
)
σ
ω
ν
=
ν
σ
ω
ν
-
-
α
ν
ν
σ
ω
ν
+
ε
ν
σ
ω
ν
,
или, после необходимых сокращений,
ν
=-
α
ν
ν
+
ε
ν
.
(1.11)
Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.
В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. αν0, а εν=0), вместо уравнения (1.11) имеем
ν
=-
α
ν
ν
.
(1.12)
Интегрирование этого уравнения даёт
ν
()
=
ν
(0)
exp
-
0
α
ν
(')
'
(1.13)
где ν(0) интенсивность излучения при =0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).
Безразмерная величина
0
α
ν
(')
'
называется оптическим расстоянием между двумя точками. При прохождении излучением единичного оптического расстояния интенсивность излучения уменьшается в раз.
В общем случае (т.е. при αν0, и εν0), решая уравнение (1.11) относительно ν, получаем
ν
()
=
ν
(0)
exp
-
0
α
ν
(')
'
+
+
0
ε
ν
(')
exp
-
'
α
ν
('')
''
'
.
(1.14)
Соотношение (1.14) может быть названо уравнением переноса излучения в интегральной форме.
Мы видим, что в общем случае интенсивность излучения состоит из двух частей. Первая часть представляет собой интенсивность первоначального излучения (в точке =0), ослабленного вследствие поглощения на пути от 0 до . Вторая часть есть интенсивность излучения, обусловленного испусканием лучистой энергии на пути от 0 до и соответствующим ослаблением его вследствие поглощения на пути от места испускания ' до рассматриваемого места .
3. Уравнение лучистого равновесия.
Полученное выше уравнение переноса излучения (1.11) позволяет находить интенсивность излучения ν, если известны коэффициент излучения εν и коэффициент поглощения αν. Однако обычно в задачах о переносе излучения коэффициент излучения εν не является заданным, а зависит от количества лучистой энергии, поглощённой в элементарном объёме, т.е. от величин αν и ν. Чтобы найти эту зависимость, надо рассмотреть энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме данной среды.