Ученые предполагают, что в Николасе воплотились все черты, которые ценил близкий друг Чосера король Ричард II. Чосер написал Кентерберийские рассказы, когда входил в ближний круг короля и, что более интересно в нашем случае, служил главным таможенным контролером в лондонском порту. Счеты появились в рассказе неспроста: в 1380-х ими владели лишь образованные люди, в число которых входил и Чосер.
Сегодня в мире используются разные счетные доски: китайский суаньпань, японский соробан, русские счеты и так далее. Во многих регионах младших школьников по-прежнему учат с их помощью визуализировать основные арифметические действия, и есть свидетельства тому, что работа со счетной доской перестраивает мозг человека[30]. Лучшие современные счетоводы главным образом школьники из Восточной Азии так умело используют счеты, что многим из них сам инструмент уже не нужен. Они переставляют костяшки в уме, подобно тому, как опытный шахматист разыгрывает партию в голове, не используя ни доску, ни фигуры. Опытные счетоводы не только складывают и вычитают на счетах, но и извлекают с их помощью квадратные корни. Однако, несмотря на чудеса абака, уже многие века мы обходимся без него главным образом потому, что ноль указал нам на его несовершенства. Математическая запись, в которой есть необходимое количество нулей, позволяет нам работать с числами любой величины и проводить расчеты любой сложности.
Насколько нам известно, впервые на Западе ноль и арабские цифры ввели в официальный обиход в 1305 году на предприятии Галлерани в Пизе[31]. Римские цифры, однако, остались в моде и все следующее столетие господствовали в сфере счетоводства: купцы и банкиры не слишком любят перемены. Но постепенно люди стали понимать, что римские цифры и другие системы без нуля усложняют арифметику. Появление арабских цифр позволило проводить письменные расчеты, поддающиеся проверке. Записывая числа с помощью цифр от 1 до 9 с добавлением 0, мы получили возможность разрабатывать алгоритмы рецепты для расчетов, облегчающие умножение и деление огромных чисел. Со временем необходимость в счетах исчезла, и уже к 1500 году администраторы банка Медичи ввели четкое правило: в их банковских книгах должны были использоваться только арабские цифры[32]. Медленно, но верно их влияние росло. Через несколько сотен лет арабские цифры, включая ноль, обойтись без которого так и не удалось, захватили весь мир.
Не случайно это совпало с беспрецедентным ускорением развития человеческого общества. Когда в наш инструментарий вошли ноль и отрицательные числа, мы получили возможность вести учет чисел, которые хлынули к нам в эпоху международной торговли и процветания, и свидетельствами тому стали банк Медичи, Великая французская революция и блестящие финансовые нововведения Александра Гамильтона.
Бухгалтерский учет
Ускорение, как ни странно, началось после перехода к двойной записи. В простейшей форме это способ вести бухгалтерию безошибочно. Каждая транзакция записывается на двух отдельных счетах, чтобы можно было сверять их друг с другом. Основы этого метода прекрасно изложены в опубликованной в 1494 году Сумме Луки Пачоли, о которой мы упоминали, когда рассматривали знаки для счета на пальцах: Из всякой статьи, составленной тобою в Журнале, всегда следует сделать две в Главной книге; одну в «Дать» и другую в «Иметь». Должник всегда обозначается словом «на», а веритель «от» Тот и другой образуют отдельные статьи, причем статья должника помещается по левой, а верителя по правой стороне[33]
Примечания
1
Gordon P. Numerical cognition without words: evidence from Amazonia. Science 306. 5695 (2004): 49699.
2
Everett C. Numbers and the Making of Us: counting and the course of human cultures. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2019.
3
Nuwer R. Babies are born with some math skills. Science, 2013, www.sciencemag.org/news/2013/10/babies-are-born-some-math-skills.
4
Dee J. The Mathematicall Praeface to Elements of Geometrie of Euclid of Megara, www.gutenberg.org/files/22062/22062-h/22062-h.htm.
5
Brooks R. Bean Counters: the triumph of the accountants and how they broke capitalism. London: Atlantic Books, 2019.
6
Mignet F. A. M. A. History of the French Revolution from 1789 to 1814, www.gutenberg.org/files/9602/96028.txt.
7
Soll J. The Reckoning: financial accountability and the rise and fall of nations. New York: Basic Books, 2014.
8
Founders Online. From Alexander Hamilton to Robert Morris, [30 April 1781], http://founders.archives.gov/documents/Hamilton/0102-021167.
9
Существует другая кость, которая может претендовать на статус более древнего математического артефакта. Это кость Лебомбо, которой около 43 тысяч лет. На ней видны насечки, которые, возможно, были знаками некоторой системы счисления. Впрочем, это подвергается большим сомнениям, и южноафриканский археолог Питер Бомонт, обнаруживший кость, вовсе не утверждает, что ее использовали в качестве инструмента для ведения подсчетов.
10
Fehr T. et al. Common brain regions underlying different arithmetic operations as revealed by conjunct fMRI-BOLD activation. Brain Research. 1172 (2007): 93102.
11
Pika S. et al. How to order a beer: cultural differences in the use of conventional gestures for numbers. Journal of Cross-Cultural Psychology 40. 1 (2009): 7080.
12
Ifrah G. From One to Zero: a universal history of numbers. New York: Penguin Books, 1987.
13
Berteletti I., Booth J. R. Perceiving fingers in single-digit arithmetic problems. Frontiers in Psychology. 6 (2015).
14
Butterworth B. The Mathematical Brain. London: Macmillan, 1999.
15
Høyrup J. State, justice, scribal culture and mathematics in ancient Mesopotamia: Sarton Chair Lecture. Sartoniana. 22 (2009): 1345.
16
Høyrup J. On a collection of geometrical riddles and their role in the shaping of four to six algebras. Science in Context. 14, no. 12 (2001): 85131. (Ответ: 4,874. Его можно вычислить с помощью квадратного уравнения, с которым мы еще не познакомились.)
17
Crappier J.-J. et al. The Akan Weighing System restored after 120 years of oblivion. A metrological study of 9301 geometric gold-weights. Colligo 2. 2 (2019): 922.
18
Scripture E. W. Arithmetical prodigies. American Journal of Psychology. 4, no. 1 (1891): 159.
19
Duvernoy S. Leonardo and theoretical mathematics. Nexus Network Journal. 10,1 (2008): 3949.
20
Если вы сочувствуете Леонардо, в этом нет ничего удивительного. Разумеется, можно просто принять, что при делении на число меньше единицы частное оказывается больше делимого. Не помешает, впрочем, разобраться в этом на примере. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 5 хоккейными командами. Каждая команда получает по 2 шоколадки. Теперь допустим, что мы делим шоколадки между 2 командами. В таком случае каждая команда получает по 5 шоколадок. Чем меньше оказывается делитель, тем больше становится частное. Так продолжается, пока делитель не достигнет 1. Рассмотрим числа меньше 1. Допустим, мы делим 10 шоколадок между 1/3 команды. Треть хоккейной команды это 2 человека. Следовательно, 10 шоколадок делится между 2 игроками, то есть каждый игрок получает по 5 шоколадок. Но это равнозначно тому, как если бы вся команда получила 5 × 6 = 30 шоколадок. Итак, при делении 10 на 1/3 получается 30.
21
McNamara J., Shaughnessy M. M. Student errors: what can they tell us about what students DO Understand? Math Solutions, 2011.
22
Ответ на первый вопрос: 2/7, 1/2, 5/9. Ответ на второй вопрос: 2. Прийти к ним можно либо путем аппроксимации (и 12/13, и 7/8 близки к 1, поэтому их сумма близка к 2), либо путем приведения дробей к общему знаменателю. Превратим 12/13 в 96/104, умножив числитель и знаменатель на 8. Затем превратим 7/8 в 91/104, умножив числитель и знаменатель на 13. Сложим числители. 96 + 91 = 187, а значит, в сумме дроби дают 187/104. Это приблизительно 1,8, что ближе всего к 2.