$|\psi\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $
Если мы применим оператор Адамара к этой суперпозиции, получим:
$H|\psi\rangle = H\left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) \right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (H|0\rangle + H|1\rangle\right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle |1\rangle) \right) $
$= \frac {1} {\sqrt {2}} \left (\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |0\rangle) + \frac {1} {\sqrt {2}} (|1\rangle |1\rangle) \right) $
$ = |0\rangle$
Как видно из вычислений, после применения оператора Адамара к суперпозиции, мы получаем состояние «0». Это происходит потому, что оператор Адамара обратим и обеспечивает восстановление изначального состояния.
Оператор Адамара позволяет накладывать состояния «0» и «1» друг на друга и создавать суперпозицию, что открывает возможности для различных операций с кубитами в квантовых вычислениях.
Уточнение того, что оператор Адамара также является собственным вектором оператора фазы
Рассмотрим связь между операторами Адамара и фазы и объясним, почему оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы.
5.1 Определение оператора фазы ($S$):
Оператор фазы, обозначаемый как $S$, является оператором, который вводит фазовые изменения в состояния кубитов. Определяется он следующим образом:
$S = \begin {pmatrix}
1 & 0 \\
0 & i
\end {pmatrix} $
5.2 Свойство оператора Адамара и оператора фазы:
Оказывается, что оператор Адамара и оператор фазы связаны друг с другом. Более конкретно, оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы. Это означает, что вектор состояния после применения оператора Адамара будет собственным вектором оператора фазы.
Математически, это можно представить следующим образом:
$S (H|\psi\rangle) = \lambda (H|\psi\rangle) $
Где $|\psi\rangle$ вектор состояния кубита после применения оператора Адамара, $H|\psi\rangle$ результат действия оператора Адамара на $|\psi\rangle$, $\lambda$ собственное значение оператора фазы.
5.3 Доказательство свойства:
Чтобы доказать, что оператор Адамара является собственным вектором оператора фазы, мы можем рассмотреть, как операторы Адамара и фазы действуют на состояния «0» и «1»:
$H|0\rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $