Мерцалов Леонид Михайлович - Природа и свойства физического времени стр 5.

Временной интервал, найденный таким образом, определяет собой собственное (внутреннее) время процесса, которое в нашем случае не имеет никакого отношения к скорости движения тела в другой системе отсчета, потому что в начале нашего анализа мы приняли проводить его в нерелятивистском приближении. Впоследствии мы обстоятельно проанализируем теорию относительности Эйнштейна и соотношение ее периодов с нашим исследованием.

Но для относительных движений, тем не менее, нужно заметить, что в реальности могут быть более сложные случаи, чем мы рассматривали, для которых учитывать их (относительные движения) не только возможно, но и обязательно.

К примеру, возьмем движение двух небольших астероидов вдалеке от тяготеющих масс и на пересекающихся траекториях. Здесь если учитывать движение только одного астероида на участке траектории до пересечения с траекторией другого, то мы должны принять вложенную энергию в этом движении равной нулю и временной интервал, соответствующий этому, равным бесконечности. То же самое относится и к движению другого астероида. Но если мы берем оба этих движения как один процесс, в совокупности, учитывая, что астероиды столкнутся, то должны принять, что каждый из них по отношению к другому обладает вложенной в процесс энергией, равной кинетической энергии его движения. Поэтому, когда в результате столкновения начинается процесс образования нового небесного тела или распыление астероидов с образованием пылевого облака, для этого процесса временной интервал будет определяться уже с использованием кинетической энергии обоих астероидов относительно друг друга. Могут существовать еще более сложные случаи, поэтому вывод относительно вложенной энергии должен делаться после рассмотрения всех деталей конкретной ситуации, в которой протекает процесс.

Таким образом, время (временной интервал) для каждого процесса имеет свое, определяемое только параметрами процесса значение и, кроме того, генерируется для каждого процесса своим, отличающимся от другого процесса способом, зависящим от особенностей его протекания.

Следует особо отметить то обстоятельство, что всякий раз, когда мы определяем временной интервал для независимого единичного движения, мы полагаем при этом то есть считаем, что оно начинается с нулевой временной точки. Если при этом нам необходимо будет сопоставить временному интервалу, определённому нами, интервал из внешнего для данного движения счёта Т

вн

0

вн0

x

вн

x

В этом случае временной интервал будет описывать тот же самый процесс, но уже относительно внешнего, общеупотребительного, счета времени.

В целом полученное выше выражение, во-первых, определяет физическое время через известные величины, во-вторых, позволяет понять природу времени, исходя из характеристик самого движения, и, в-третьих, дает возможность сделать некоторые выводы относительно свойств той физической реальности, в которой происходит движение.

Остается неясным, может ли выражение, полученное в результате решения частной задачи динамики, претендовать на какую-либо степень всеобщности. Если время, которое определяется в полученном выражении, действительно то физическое время, о котором речь шла вначале, то и в любом другом случае решение динамических задач всегда должно приводить к аналогичному виду зависимости для времени. То есть ее вид должен быть всегда один и тот же, независимо от того, из какого конкретного случая она выводится.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую простую задачу динамики: определить период колебания материальной точки с постоянной массой m по прямой около положения равновесия под действием квазиупругой силы, считая, что в момент времени точка имеет координату и скорость

По второму закону Ньютона

положив получим:

Это дифференциальное уравнение второго порядка, известное как уравнение свободных колебаний материальной точки, общее решение которого имеет вид:

где x смещение точки из положения равновесия;

a амплитуда колебания;

ω циклическая частота;

φ начальная фаза.

В нашем случае

Свободные колебания имеют характеристическое время (период), через которое все элементы движения повторяются:

Для простоты картины будем рассматривать период в радианной мере.

Обозначим

Умножим и разделим выражение для Ŧ

2

2

Так как и в этом случае сила действует вдоль направления движения, то

где A  работа силы на пути x, равная изменению потенциальной энергии материальной точки.

так как

Заметим, что потенциальная энергия вкладывается в рассматриваемый процесс лишь в течение половины периода Ŧ. Чтобы учесть это, запишем

в виде

в результате получим:

Для окончательной уверенности во всеобщности полученной зависимости решим третью простую задачу динамики, рассмотрев движение физического маятника, колеблющегося вокруг оси.

Определим период колебаний тела с постоянным весом P, центр тяжести которого C расположен на расстоянии r от оси вращения. Угол отклонения тела от положения равновесия φ будем считать малым, когда можно принять Силу тяжести будем считать приложенной к телу в центре тяжести C.

Тогда при малых углах, где Pt тангенциальная составляющая веса тела. Момент этой силы по отношению к оси вращения

Под влиянием этого момента тело приобретает угловое ускорение

где J момент инерции тела относительно оси О.

Подставляя значения β и M, получим:

Полагая получим:

Полученное уравнение также является уравнением гармонических колебаний с периодом

или в радианной мере

Подставив в уравнение для Ŧ значение ω, найдем:

Умножим числитель и знаменатель выражения на φ

2

Заметим, что путь, проходимый центром тяжести при колебаниях. Соответственно,

а

Отсюда

но

Так как и здесь потенциальная энергия вкладывается в процесс только в течение половины периода, запишем:

В итоге получим:

Сопоставим все три выражения, полученные из трех различных задач динамики:

Поскольку в двух последних случаях за время развития процесса потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую и обратно, а в первом случае (при торможении) кинетическая может переходить в тепловую, то есть в процессе могут участвовать различные виды энергии, обобщим найденные зависимости, записав:

где E сторонняя энергия, участвующая в процессе.

Рассмотрим выражение Присутствие в нем меры инерции точки и квадрата расстояния, которое она проходит под действием приложенной силы, определяет степень противодействия массы m изменению ее в данном случае кинетической энергии. Размерность этой величины совпадает с размерностью момента инерции при вращении тела вокруг оси, поэтому естественно назвать величину обобщенным моментом инерции массы m.

Здесь хорошо видно, что масса есть численная характеристика степени противодействия сил инерции работе внешней силы.

В итоге для искомой функции получаем:

где временной интервал;

Ĵ обобщенный момент инерции;

E сторонняя энергия.

Заметим, что в нашем случае Е есть сторонняя энергия, относящаяся исключительно к отдельному процессу, рассматриваемому нами изолированно, поэтому ее соотношение с энергиями других процессов принципиально не рассматривается.

Система единиц выбирается всякий раз таким образом, чтобы не пришлось вводить ненужные коэффициенты.

Особо отметим, что момент инерции тела легко преобразуется в случае колебательного движения тела в обобщенный момент инерции Ĵ.