Задача 1.4
На рисунке справа схема дорог Н-ского района изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длинах этих дорог (в километрах). Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, то нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Определите длину кратчайшего пути из пункта А в пункт В, если передвигаться можно только по указанным дорогам. В ответе запишите целое число – длину пути в километрах.
Задача 1.5
На рисунке схема дорог изображена в виде графа, в таблице звёздочками обозначено наличие дороги между населёнными пунктами.
Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Выпишите последовательно без пробелов и знаков препинания, указанные на графе буквенные обозначения пунктов от П1 до П8: сначала букву, соответствующую П1, затем букву, соответствующую П2, и т. д.
Глава 2. Алгебра логики и базы данных
Задание №2. Алгебра логики
Алгебра логики или булева алгебра – так их называют. Как вы думаете, для чего вообще нужна алгебра логики, кроме как мучить детей? Представьте, что по проводу течет ток. Если ток есть в проводе, то обозначим это действие за 1, т.е. истина. Если же тока нет, то ноль, т.е. ложь. Сборка различных схем на компьютере осуществляется как раз схемами, которые представлены на рис.1.
Рисунок №1
Причем можно усложнить схемы, сделать их большими и громоздкими. В компьютере, понятное дело, используются большие логические схемы взаимодействий. Учить это не хочется, но важно понять, как это работает. Для этого и придумали алгебру логики. Какая бы сложная схема ни получилась, ее всегда можно упростить до двух проводов, далее буду говорить до 2 переменных, на языке алгебры логики. Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.). Пример высказываний:
Рисунок №2
Логическая переменная – это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.
Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические переменные и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).
Логическое умножение – конъюнкция. Принятые обозначения: /\, •, и, and. Этой операции соответствует знак умножения. Например, переменные А=0, B=0, то F=A*B=0*1=0. То же самое можно представить в виде примера А=«Немцы победили русских в Великой Отечественной войне»=0, ложь, т.к. русские выиграли, B=«Лимон кислый на вкус»=1, истина, т.к. это соответствует действительности. Тогда A*B=0*1=0, т.к. я настаиваю, чтобы и А, и B выполнялось (через действие умножение), поэтому значением выражения будет ложь. Остальные значения таблицы истинности вы можете посмотреть на Рисунке №3. Логическая формула истинна только в одном случае и ложна в трех других.
Рисунок №3
Логическое сложение (дизъюнкция). Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ. Обозначение: \/, +, или, or.
Рисунок №4
На рисунке №4 функция истинна в трех случаях и ложна только в одном, когда ложь. Дизъюнкции соответствует знак сложения.
Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю – Рисунок №5:
Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ. Обозначение: не А, ¬А, not. В данной функции значения функции меняются наоборот. Если А=0, то F= Не А=1.
Рисунок №5
Логическая функция импликация. Обозначается cтрелкой ->. В языке программирования соответствует операции меньше либо равно <=. Как из лжи А=0 получить ложь B=0? Рассмотрим на примере A=2> 3 – ложь, то прибавим к обоим частям неравенства +2 и получим тоже ложь B = 4> 5. Если из лжи А=0 и B=0 можно получить ложь, значит, истина A -> B=1. A= -5> 3 – ложь, то обе части неравенства возведу в квадрат и получим уже истину B= 25> 9, тогда при A=0 и B=0 получаю, что А -> B=1. Из истины А=1 я не могу получить B=0, поэтому A -> B=0. Если вы поняли смысл, как мы получили логические высказывания, то вам не потребуется зубрить таблицы истинности.
Рисунок №6
Вы еще не устали от логики)?
Последняя функция эквиваленция. Обозначается как на рисунке №6.
Рисунок №6
Функция истинна A <-> B=1 только в двух случаях: либо когда обе логических переменных А и B истинны, или когда А и B – ложны.
В каком же приоритете выполняются данные операции, спросите Вы? Да все очень просто: сначала отрицание, затем конъюнкция (умножение), потом дизъюнкция (сложение), далее импликация и эквиваленция.
Рисунок №7
В ЕГЭ представлено две задачи на знания алгебры логики. Это задачи №2 и №15. Рассмотрим основные типы этих задач ниже.
Пример 2.1
Логическая функция F задается выражением (x ⟶ y) ∧ (x ∨ ¬z) ∧ (x ≣ ¬w). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
Решение:
Первый способ – это написание программы на языке программирования Python. Код представлен ниже.
После запуска программы мы можем заметить строку, содержащую 0 0 0 1. Если сравнить эту строку со строками из таблицы (что в условии), то в данной таблице мы не найдем строку с тремя нулями, поэтому строку 0 0 0 1 можем смело исключить из решения. Рассмотрим оставшиеся три строки, которые необходимо сопоставить с таблицей, что в условии. Второй столбец с тремя единицами соответствует второму столбцу из таблицы, значит, второй столбец – Y. В первую ячейку третьего столбца однозначно можно поставить только ноль, и тогда образуется первая строка 1 1 1 0. Т.к. в последней строчке из рисунка №7 стоит такая же строка 1 1 1 0, что в условиях таблицы, то третий столбец – однозначно W. На рисунке №7 в первой и третьей ячейке третьей строки стоят нули, которые мы можем перенести в таблицу из условия на соответствующие места и однозначно определить, что Z – это первый столбец, а Z – третий.
Решение:Второй способ решения этой же задачи состоит в том, что мы составляем таблицу истинности без помощи компьютера. Заполняем первую строку, если w=0, то x=1, а y=1, а z – или ноль, или один. Итого получим почти две одинаковые строчки, за исключением значения z. 1 1 0 0 и 1 1 1 0. Теперь предположим, что W=1, тогда x=0. Т.к. в условии есть столбец с тремя единицами, то необходимо в ручном решении тоже получить такой столбец, поэтому y=1, а z=0. Ответ: ZYWX.
Пример 2.2
Логическая функция F задается выражением (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
Решение:
Расставим скобки, выражение (¬z) ∧ x ∨ x ∧ y является дизъюнкцией двух конъюнкций: ((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y). В обеих конъюнкциях присутствует x. То есть при x = 0 все выражение равно нулю. Только в третьем столбце напротив нулей стоят значения функции F=0, поэтому третий столбец – это x. Также можно заметить, что выражение ((¬z) ∧ x) ∨ (x ∧ y) =1, если x =1 и выполняется хотя бы одно из условий: y = 1 или z = 0. Из четвертой строки следует, что Перем.1 = z, а Перем.2 = y.
Ответ: zyx.
Пример 2.3
Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F. Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значения x4 не совпадает с F.
Решение:
Таблица истинности выражения с семью переменными (x1…x7) содержит 2
7
Ответ: 127.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.4
Логическая функция F задаётся выражением: (x ∧ ¬ y) ∨ (y ≣ z) ∨ w. На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w. В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.