Вот и все в этой главе. Обещаю: следующая будет гораздо более взрывной, как и любой хороший сиквел.
Глава 3
Как математику видят математики?
Тут все очень просто. Математика похожа на язык.
Курьезный язык, я не спорю. Насыщенный, лаконичный и требующий кропотливого чтения. За то время, пока я успею проглотить пять глав «Сумерек»[15], вы, возможно, так и не перелистнете страницу вашего учебника по математике. Этот язык приспособлен для того, чтобы рассказывать некоторые истории (например, о соотношениях между кривыми и уравнениями), но не в силах поведать другие (например, об отношениях между девушками и вампирами). Поэтому он обладает определенным лексиконом и полон слов, которых нет в другом языке. Например, даже если я переведу формулу на привычный английский, она останется бессмыслицей для тех, кто не знаком с рядами Фурье, так же как «Сумерки» – бессмыслица для тех, в ком не играют подростковые гормоны.
Но все-таки кое в чем математика – обычный язык. Пытаясь добиться понимания, математики используют стратегии[16], знакомые большинству читателей. Они формируют мысленные образы. Они составляют парафразы в своей голове. Они пропускают отвлекающие формальности. Они проводят параллели между тем, что читают, и тем, что уже знают. И, как ни странно, они испытывают эмоции: радуются, веселятся или брезгливо кривятся, когда читают научные тексты.
За одну короткую главу нельзя научить бегло говорить на математическом языке, это не легче, чем научить американца бегло говорить по-русски. Филологи могут часами дискутировать о четверостишии Джерарда Мэнли Хопкинса[17] или о двусмысленной фразе из электронного письма. Математики тоже могут расходиться во мнениях по определенным вопросам. У каждого своя оригинальная точка зрения, сформированная жизненным опытом и личными ассоциациями.
Тем не менее я хочу предложить вашему вниманию несколько вольных переводов, несколько беглых взглядов на стратегию, с помощью которой математики могут читать актуальные математические статьи. Назовем ее Теорией закорючек 101[18].
Обычно я слышу от школьников вопрос: «Имеет ли значение, что я перемножу сначала: 11 и 13 или 7 и 13?» Ответ («Нет») менее интересен, чем подоплека вопроса: с точки зрения моих студентов, умножение – это действие, операция, которую вы делаете. Один из труднейших уроков, который я преподаю им, состоит в том, что иногда это не так.
Вы не должны воспринимать 7 × 11 × 13 как команду. Вы также можете назвать это число 1002 – 1, или 499 × 2 + 3, или 5005/5, или Джессика, или Число-которое-спасет-планету-Земля, или Старое доброе 1001[19]. Но если 1001 – имя, похожее на имена других друзей из мира чисел, то 7 × 11 × 13 – причудливое и произвольное прозвище. Точнее говоря, это официальное имя из свидетельства о рождении.
7 × 11 × 13 – это результат факторизации (то есть разложения на простые множители), задающий объемную точку зрения.
Некоторые ключевые фоновые знания: сложение скучно. А именно: записывать 1001 как сумму двух чисел – поистине тоскливое занятие. Вы можете представить это число в виде суммы 1000 + 1, или 999 + 2, или 998 + 3, или 997 + 4… и так далее, и так далее, пока вы не впадете в кому от скуки. Это разложение на слагаемые не говорит нам ничего особенного о числе 1001, потому что все числа можно разложить на слагаемые практически одинаковым способом (например, можно записать число 18 в виде суммы 17 + 1, или 16 + 2, или 15 + 3…). Визуально это похоже на деление одной кучи на две. Без обид, но копаться в кучах глупо.
Умножение – вот настоящее веселье. Чтобы не быть чужим на этом празднике жизни, вам стоит применить первое стратегическое правило чтения математических текстов: формирование мысленных образов.
Как показано на рисунке на предыдущей странице, умножение сводится к сеткам и массивам. Число 1001 можно рассматривать в качестве гигантской конструкции из кубиков: 7 в ширину, 11 в длину и 13 в высоту. Но это только начало. Вы можете представить это число как 11 слоев из 91 кубика каждый, а если вы наклоните голову, то увидите 7 слоев по 143 кубика в каждом. Все эти способы разложения числа 1001 становятся очевидны благодаря факторизации. Но почти невозможно разобрать это число без кропотливых вычислений, просто глядя на сочетание цифр.
Факторизация – это ДНК числа. Благодаря факторизации вы можете понять, на что делится данное число, а на что нет. Если математика – это мастер-класс по кулинарии, то произведение 7 × 11 × 13 – это не рецепт блинчика, а сам блинчик.
Для типичных фанатов число π – таинственная руна, символ математической магии. Они размышляют над его иррациональностью, запоминают цепочку из тысячи цифр и отмечают 14 марта День π, сочетая наиболее славное искусство человечества (приготовление сладких пирогов) с наименее славным (пижонство). Для широкой же публики число π – это объект одержимости и благоговейного трепета. Вокруг него сложилось нечто вроде религиозного культа.
А для математиков π – это приблизительно 3.
Что до бесконечной катушки знаков после запятой, которая так пленяет профанов, то математиков это не тревожит. Они знают, что математика – нечто большее, чем точные вычисления. Это быстрая прикидка и ловкое округление. Интуиция помогает оптимизировать и упрощать. Разумное огрубление – еще одно жизненно важное стратегическое правило чтения математических текстов.
Возьмем формулу S = πR², которую многие школьники слышат так часто, что фраза «площадь круга» вызывает у них рефлекторное желание закричать: «Пи эр квадрат!» Они как агенты глубокого внедрения с промытыми мозгами. Но что значит эта формула? Почему это так?
Ладно, забудьте о числе 3,14159. Раскрепостите сознание. Просто поглядите на геометрические фигуры: r – это радиус круга, длина отрезка; r² – это площадь квадрата (он изображен на чертеже). А теперь вопрос на π долларов: как площадь круга соотносится с площадью этого квадрата?
Очевидно, что площадь круга больше. Но не в четыре раза больше, потому что четыре квадрата покроют не только круг, но и дополнительную часть плоскости. Кроме того, присмотревшись, вы поймете, что площадь круга немного больше, чем площадь трех квадратов.
Это именно то, что утверждает наша формула: площадь круга чуть-чуть больше, чем 3 × r².
Если вы хотите установить точное значение числа π (почему 3,14, а не 3,19?), вам придется прибегнуть к доказательству. (Есть несколько великолепных наглядных доказательств, мое любимое заключается в том, чтобы снимать с круга слой за слоем, как будто кожицу с луковицы, и в итоге получить многоугольник[20].) Но математики, что бы они ни доказывали, не всегда исходят из первичных принципов. Как и представители других профессий, от плотников до смотрителей зоопарка, они с радостью используют какой-нибудь инструмент, даже не зная в точности, каким образом он сконструирован, до тех пор, пока у них есть ощущение, что он работает.
«Постройте график исходя из уравнения» – знакомое домашнее задание. Я и сам его задавал. Кроме того, это зародыш порочного мифа: якобы графики являются самоцелью. На самом деле их построение не похоже на решение уравнений или выполнение операций. График – это не конечный пункт, а всегда не более чем средство.
График – это способ визуализировать данные, картинка, которая рассказывает историю. Он представляет собой еще одну могущественную стратегию чтения математических текстов: превратить статику в динамику.
Возьмем уравнение, приведенное выше: y = 1/x². Здесь x и y – пара взаимосвязанных чисел. Вот несколько примеров:
Уже просматривается несколько закономерностей. Но чем лучше наши технические приемы, тем больше мы видим, и таблицы – не модный инструмент. Из бесконечных пар x – y, которые подходят нашему уравнению, таблица, как бегущая строка биржевых индексов, может показать всего лишь несколько. Нам нужен инструмент визуализации получше: математический аналог телевизионного экрана.