Цвета радуги
Радуга возникает из-за взаимодействия солнечного света с каплями воды, взвешенными в атмосфере (илл. 8). Эти капли размером порядка 0,1 мм значительно больше, чем длина световой волны. В результате путь световых лучей в каждую каплю может быть описан геометрической оптикой, то есть преломлением на входе и на выходе. Между этими преломлениями внутри капли может произойти одно или несколько отражений. Основная радуга, часто единственная видимая, соответствует одному промежуточному отражению, а иногда появляющаяся вторичная радуга создана лучами, которые претерпели два отражения в каплях воды (илл. 9). Для данной длины волны отклонение светового луча каплей воды зависит от того, в какой точке он в нее попадает, и определяется законами преломления. Однако угол между входящим и выходящим из капли лучами не может принимать любое значение. В случае основной радуги он лежит в диапазоне от 0° примерно до 42°, в чем читатель может убедиться, если не боится вычислений. Отклонения, превышающие 42°, допустимы, но максимальная интенсивность достигается в непосредственной близости от 42°. Для вторичной радуги этот угол составляет около 51°. Поворачиваясь к солнцу спиной, мы наблюдаем две яркие дуги. Между ними появляется темный участок: действительно, никакой луч не появится между двумя критическими углами после одного или двух отражений в каплях воды, и потому эта область выглядит темнее, чем остальная часть неба.
Снелл, Декарт и Ферма
Давайте вспомним закон, названный во Франции законом Снелла – Декарта или просто законом Декарта, а в других странах – законом Снеллиуса (см. главу 2, «Отражение и преломление световых волн»). Декарт, по-видимому, первым опубликовал его в трактате «Диоптрика» в 1637 году, но закон уже был открыт голландским математиком Виллебрордом Снеллом, или Снеллиусом (1580–1626), а до него – персидским ученым Ибн Салемом в конце X века.
Снелл, вероятно, основывался на экспериментальных работах, в то время как Декарт утверждал, что открыл этот закон, приравняв луч света к траектории пули. Это не слишком понятное доказательство было раскритиковано Пьером де Ферма в работе, опубликованной в 1662 году под названием «Сумма о преломлениях» (Synthèse pour les réfractions). Принцип Ферма, изложенный в этом тексте, гласит, что свет проходит по пути, который позволяет ему скорейшим образом перейти от точки А к точке В (см. илл.). Предоставим читателю вывести закон Снеллиуса из принципа Ферма, что не составит труда при наличии некоторого знания тригонометрии и дифференциального исчисления. Просто найдите точку C, которая минимизирует время, затраченное светом, чтобы пройти по пути ABC, – это время равно (AC/c) + (BC/v), где c – скорость света в воздухе и v = c/n – его скорость в воде.
Если доказательство Декарта любопытно скорее с исторической стороны, то принцип Ферма сохраняет определенный интерес и для современной физики. Кроме того, именно Декарт первым объяснил появление двух радуг и рассчитал соответствующие углы отклонения.
Аналогия с проблемой спасателя
Спасатель (А), которому нужно как можно скорее спасти пловца (B), бежит по пляжу быстрее, чем плывет в море. Самый краткий путь, прямой (1), не будет самым быстрым: спасатель потеряет много времени в море. Если же он максимально сократит время плавания (3), то значительно увеличит путь по пляжу. В итоге самый быстрый путь (2), проходящий через C, – тот, который отвечает закону Снеллиуса
Так объясняется появление световых дуг, но не их цветов… На самом деле точное значение угла отражения зависит от цвета, так как показатель преломления воды n увеличивается, когда длина волны уменьшается. Итак, для фиксированного угла падения i угол преломления увеличивается с длиной волны, то есть двигается от синего к красному. Это значит, что отклонение на входе и выходе капли сильнее для синего, чем для красного. Таким образом, с внешней стороны дуги появляется красный цвет. Все наоборот во вторичной радуге, цвета которой расположены в обратном порядке: красный внутри. Эти вытекающие из геометрии и законов преломления странности – примеры сюрпризов, что порой несут нам научные расчеты.
А птицы?
Рассматривая картину Рылова, мы еще не обсудили птиц, которые составляют неотъемлемую часть обаяния морских берегов. Давайте исправим это упущение такой задачей: как часто птице заданной массы нужно взмахивать крыльями, чтобы лететь? Возможно, читателю трудно будет увидеть связь между этими величинами, и он решит, что авторы играют с ним как кошка с мышкой.
Пусть m – масса птицы, S – общая площадь крыльев, v – средняя скорость крыла, t – продолжительность удара крыла и ρ – плотность воздуха. Во время взмаха крылом птица перемещает воздушную массу, равную M = ρSvt, и сообщает ей скорость v, что соответствует среднему ускорению v/t, поэтому сила F = Mv/t = ρSv
2
mggСкорость v крыла пропорциональна количеству взмахов крыльев в секунду υ и длине крыла, которая также пропорциональна Предполагая (довольно произвольно), что коэффициент пропорциональности равен 2π, находим:
Для серой цапли (илл. 10) масса m составляет порядка 1 кг. Размах ее крыльев – около 2 м, и можно предположить, что площадь S ≈ 0,2 м
2
3
g2
10. Площадь крыла серой цапли примерно равна одной десятой квадратного метра
Пойдем дальше и предположим, что все птицы имеют тело той же формы и плотности. Площадь крыльев S в таком случае пропорциональна m
2/3
m1/6
А насекомые? На картине Рылова их не видно, так как они слишком малы. У насекомых частота взмахов крыла значительно выше, чем у птиц, что соответствует нашей формуле. Предельный случай – комары, которые совершают примерно 400 взмахов в секунду. Ударяя воздух с такой частотой, насекомое производит слышимый человеком звук, чем предупреждает о своих атаках! Зная, что масса комара составляет 2 мг, и предполагая, что крылья имеют площадь поверхности S порядка 10 мм
2
Мог ли художник Рылов, когда писал свою картину, предполагать, что затронет так много законов физики?
Глава 4
Маятник Фуко и сила Кориолиса
В начале XIX века все были уверены, что Земля шарообразна и вращается вокруг своей оси, но экспериментальных свидетельств этому не имелось. Первым неоспоримым доказательством этих фактов стал известный опыт Леона Фуко.
Вращение Земли вокруг своей оси объясняет многие явления, например из области метеорологии и океанографии. Чтобы понять природу этих явлений, нужно научиться их описывать теоретически. Для этого физики прибегают к использованию фиктивной силы, называемой именем Гаспара-Гюстава де Кориолиса.
В 1851 году парижский Пантеон стал местом проведения эксперимента, осуществленного физиком Леоном Фуко (1819–1868). К верхней части купола, на подвесе длиной 67 м, он прикрепил шар массой в 28 кг, создав таким образом маятник (илл. 1), аналогичный балансиру часов наших прабабушек и прадедушек. В отличие от маятника часов, который способен двигаться только в определенной вертикальной плоскости, маятник Фуко мог свободно колебаться в любых направлениях. Эксперимент предполагал отклонить маятник от равновесного положения (вертикального), а затем отпустить и позволить ему свободно колебаться. Поскольку трение крайне мало, маятник может очень долго колебаться без затухания. Что же наблюдали экспериментаторы? При первых колебаниях маятник, казалось, оставался в вертикальной плоскости, определенной осью маятника и начальным отклонением. Именно так, как читателя и учили в средней школе. Через несколько минут, однако, ученые заметили, что плоскость качания маятника начала постепенно поворачиваться! При этом поворачивалась она всегда в одном и том же направлении. Давайте поймем, в каком именно.