Сегодня вся наша математическая система состоит из всего лишь десяти чисел – 0 и чисел от 1 до 9. Если мы хотим идти дальше, то мы должны комбинировать цифры. Следовательно, мы имеем то, что называется десятеричной системой. В прошлом использовались и другие системы, не десятеричные. У китайцев некогда система счисления была основана на 2. В качестве основы использовали и 5, и 20. Такие системы были у народов майя, ацтеков и друидов. Доказательством того, что друиды пользовались двадцатеричной системой, является слово, обозначающее 80 в современном французском языке – «quatre-vingts», что означает «четыре двадцатки». В математике древних шумеров использовали две различные системы счисления: для повседневных подсчетов они пользовались десятеричной системой, а для астрономических вычислений – шестидесятеричной. Другими словами, прежде чем они начинали комбинировать числа для того, чтобы выразить большие величины, у них в распоряжении было шестьдесят чисел.
У шумеров, как у любого другого древнего народа, числа имели священный и философский смысл. Числа отождествляли с богами. Основные взаимосвязи между богами устанавливали в том числе по числам, на которые число 60 делилось без остатка. Сегодня вместо слова «боги» мы можем поставить «духовные силы» или «космические законы». По всей видимости, числа, на которые 60 делилось без остатка, демонстрировали взаимоотношения между богами потому, что эти взаимосвязи можно было установить непосредственно с помощью математики.
Шумеры находили свои священные числа в природе, выводя их, в частности, из продолжительности года и тех объектов, которые они наблюдали в небе; так поступали многие цивилизации того времени. Люди считали солнце, луну и звезды божественными созданиями и полагали, что циклы их путешествия по орбитам отражают деятельность богов. В настоящее время известно, что у шумеров, как и у многих других народов древности, были великолепные астрономы, точность наблюдений которых намного превосходила ту, которую мы приписывали им. В некоторых случаях (например, при предсказании лунных затмений) древние астрономы были практически так же точны, как современные ученые! Несмотря на эти знания, продолжительность календарного года шумеров составляла 360 дней, а не 365 % дня, как на самом деле. Это определенно создавало удобства, потому что есть много чисел, на которые 360 делится без остатка, тогда как действительная продолжительность года не делится без остатка вообще, из-за !4 дня. Сначала это расхождение тревожило меня. Вся космология шумеров была основана на числе 360. Однако, как оказалось, шумеры были прекрасно осведомлены об истинной продолжительности года, и поэтому разработали метод, позволяющий суммировать пять дополнительных дней без ущерба счету лет. То же самое практиковали астрономы и других древних цивилизаций – друиды, индийские арии, египтяне, майя, инки и китайцы; у всех у них календарный год состоял из 360 дней и включал пять дополнительных дней. Я ломал голову над тем, насколько осознанно шумеры манипулировали числами, чтобы их числовой символизм работал. Какое-то время спустя я узнал, что «в какой-то момент во время эры Рака мы приобрели пять дополнительных дней, так называемые эфиопские дни; ранее Земля совершала свое вращение вокруг Солнца ровно за 360 дней»*. Это успокоило меня, потому что система духовных символов, без внутренней цельности и честности, не имеет никакой ценности. Как оказалось, многие цивилизации просто демонстрировали свое почтение к предшествующей им истории человечества. Это демонстрирует также, что реальность нашего мира меняется и предпосылки какой-либо системы мудрости могут утратить свою ценность по истечении определенного срока – если они основаны на физической реальности. В наши дни нет никаких оснований делать числа 60 или 360 священными.
Шумеры мечтали структурировать вселенную с помощью чисел, но первые попытки этого были сделаны только через 1400 лет, во времена Пифагора. Под «структурой вселенной» шумеры понимали распространение своих знаний символизма чисел на объяснение всего происходящего в мире. Хотя древние шумеры не преуспели в этом, они оставили нам в наследство две вещи, которыми мы пользуемся до сих пор. То, что мы делим круг на 360 градусов, а час – на 60 минут, является культурным наследием той давно ушедшей цивилизации. Еще одна вещь, оставленная нам шумерами, – это изобретение подсчета числовых значений имен и слов. Это составляет тот фундамент, на котором работает современная нумерология, а также еще несколько других, менее известных форм числового символизма, например гематрия. Гематрия – это метод определения скрытых связей между словами, имеющими одинаковое нумерологическое значение. Просто поразительно, насколько сильна унаследованная сила культуры и традиции!
С появлением шумеров началась эпоха исторических письменных свидетельств. Несмотря на прогресс, которого к тому времени достигла математика, она пребывала в весьма примитивном состоянии с точки зрения современных стандартов. Написание чисел было весьма громоздким. А еще хуже то, что ими нельзя было пользоваться даже для простейших вычислений вроде сложения и вычитания. Такого рода ограничения сохранялись во всем мире примерно до 700 года нашей эры, когда в Индии изобрели так называемые арабские цифры, которыми мы пользуемся и по сей день.
До этого времени числа писали только для того, чтобы сделать заметки о количестве чего-то или записать результаты вычислений. Начиная с эпохи шумеров (5000 лет до нашей эры) и заканчивая примерно 1700 годами, люди считали на пальцах и счетах, выполняя сложение, вычитание, умножение и деление. Счеты представляли собой костяшки из дерева или камня, надетые на параллельно натянутые нити. Для вычислений использовали камушки и специальные фишки. Количество костяшек, символизирующих то или иное число, равнялось этому числу. Для обозначения числа 7, например, требовалось семь костяшек. В Европе колонки на счетах указывали поместное значение каждого числа. Колонка определяла, идет ли речь о единицах (1, 2, 3 и так далее до 9), десятках (10, 20, 30 и так далее до 90), сотнях (100, 200, 300 и так далее до 900) и так далее. Ноль при работе со счетами не учитывали. Колонки, представляющие ноль, просто оставляли пустыми.
Рис. 1. Число 204, отложенное на счетах
На рис. 1 показано, как на счетах выглядело число 204. Как бы ни было важно поместное значение чисел при операциях на счетах, эту технику не включали в работу с написанными числами вплоть до XV века.
Весьма любопытно, что в Китае вместо костяшек в счетах использовали маленькие деревянные или бамбуковые палочки. Возможно, это связано с тем, что изначально при работе с «И-Цзином» («Книгой Перемен») пользовались именно палочками. Сегодня для простоты вместо палочек кидают три монеты. И-Цзин базируется на 64 гексаграммах. Гексаграмма – это шесть линий, которые могут быть прерывистыми или сплошными (рис. 2). При истолковании смысл гексаграммы определяют по конкретному сочетанию линий и порядку их расположения. Чередование прерывистых и сплошных линий наводит на мысль о древней китайской двоичной системе счисления, поскольку мы имеем лишь два символа. Это еще один пример того, как древние народы использовали математику для выражения концепций мудрости и духовности.
Рис. 2. Эта взятая в качестве примера гексаграмма по номером 17 называется Суй («Следование»). Ее краткое истолкование звучит следующим образом: «Радость движения ведет к следованию. Идея следования как приспособление к велениям времени произрастает из этого образа»