1. 7. Скорость материальной точки
Пусть в начальный момент tχ = t = 0 материальная точка двигается из начала координат вдоль оси OX со скоростью V. Вместе с ней с этой же скоростью двигаются и часы (Ve и V одного направления). Когда точка и часы будут находиться в точке с координатой x, часы покажут время tχ. Это время состоит из двух слагаемых: 1-ое истинное время движения точки t = x/V; 2-ое слагаемое слагаемое переноса часов x/Ve. Таким образом:
Решая это уравнение относительно V, находим:
Эта формула отличается от обычной (классической) формулы наличием в знаменателе члена x/Ve и он появляется потому, что мы учитываем материальность часов. Для идеальных (нематериальных) часов этот член равен нулю. Заметим также, что соглашение о направлении скоростей Ve и V делает член x/Ve всегда положительным. Запишем (1. 3) с применением производных
Или
Таким образом, начиная с формул (1. 4) и (1. 5) нам следует отличать величины: истинная (или исправленная) скорость точки, а
скорость этой же точки определяемая по показаниям часов традиционным методом, без учета материальности часов. Из (1. 5) видно также, что модуль скорости V всегда больше модуля скорости Vχ.
1. 8. Сложение скоростей
Пусть относительно системы координат O1X1 со скоростью V1 движется другая система O2X2, а относительно системы O2X2 со скоростью V2 движется материальная точка и вместе с ней с той же скоростью двигаются и часы. Какова скорость точки V относительно системы координат O1X1? В начальный момент времени tχ = t = 0 положим координаты точки, часов и второй системы координат O2X2 равными нулю, относительно первой системы O1X1.
Время, отсчитанное часами по достижению точкой координаты x (в первой системе координат), равно а истинное время движения равно:
Путь, пройденный за это время системой O2X2 относительно системы O1X1 равен:
Путь, пройденный за это время точкой относительно системы O2X2, равен:
Путь, пройденный за это время точкой относительно системы O1X1 равен:
Этот путь равен сумме путей x1 и x2 , то есть:
x = x1 + x2.
Из последних четырех равенств получаем:
Итак, для истинных времени и скоростей правило сложения скоростей классической механики остается в силе и никаких ограничений на величины скоростей при этом не накладывается.
С применением формулы (1. 6) нетрудно вывести аналогичную формулу и для векторов скоростей:
1. 9. Первый постулат
Как уже говорилось выше, для современной системы часов Ve = c. Заменим в (1. 5) Ve на c и получим:
отсюда, выразив Vχ через V и c получим:
Пусть в выражении (1. 8) скорость V неограниченно возрастает. Тогда мы получим следующий предел:
Выражение (1. 9) есть не что иное, как математическая запись 1-го постулата, именно: если скорость точки измерять по показаниям часов tχ, то измеренная таким способом скорость Vχ,никогда непревысит скорости света. При этом истинная скорость точки V может превышать скорость света на сколько угодно. Итак, 1-й постулат появился только потому, что измеряя время реальными часами, мы полагаем, что они идеальны. При учете материальности часов и введении формул перехода от показаний часов к истинному времени, 1-й постулат теряет силу и должен быть отменен.
1. 10. Преобразования координат
При справедливости формул сложения скоростей (1. 6) и (1. 7), нетрудно сделать вывод, что уравнения классической механики, в том числе законы сохранения импульса и энергии, остаются в классической форме, и во всех формулах должно фигурировать истинное время t. То же самое относится и к производным по времени, например:
Преобразования координат есть преобразования Галилея, с добавлением формулы перехода от показаний часов к истинному времени:
1. 11. Измерение массы ядер
В качестве примера того, как путаница между скоростями Vχ и V приводит к «странным» результатам, рассмотрим измерение масс ядер в масс-спектрометрах с применением магнитного поля. Измерение основано на приравнивании центростремительной силы силе Лоренца для частицы, движущейся в магнитном поле. Это уравнение таково:
Здесь: m масса частицы, q её заряд, r радиус траектории частицы, B индукция магнитного поля, V скорость частицы.
Во времена Лоренца различие между Vχ и V не делалось, поэтому фактически уравнение (1.11) выглядит так:
Но теперь, когда мы знаем, что в центростремительную силу следует подставлять не Vχ, а V равное
то исправленное уравнение для измерения массы будет уже другим:
Здесь mI масса, измеренная с использованием уравнения (1. 13). Поделив (1. 12) на (1. 13) найдем отношение масс:
Поскольку с уменьшением массы частицы ее скорость Vχ в приборе возрастает, то из (1. 14) следует, что завышение массы, измеренное при помощи уравнения (1. 12) возрастает по отношению к массе, измеренной при помощи уравнения (1. 13) с уменьшением массы исследуемой частицы. Что нам следует ожидать, если при измерении масс ядер мы будем использовать уравнение (1. 13), а не (1. 12)? Нам следует ожидать, что, так называемый, «дефицит масс» станет равен нулю, а закон сохранения массы будет иметь силу и для микрочастиц.
1. 12. Второй постулат
Отмена 1-го постулата и переход к преобразованиям Галилея означает также и отмену 2-го постулата, потому что теперь скорость света ничем не отличается от остальных скоростей и подчиняется правилам классической механики, в частности правилам сложения скоростей (1. 6) и (1. 7). На этом можно было бы закрыть тему 2-го постулата, если бы не одно обстоятельство. Дело в том, что опровергнуть 2-й постулат можно и без того, чего изложено в данной главе. Коснемся этого вопроса по возможности кратко.