plot([0:10],x)
1.1.5. Для модели, указанной в задаче 1.1.3 а), сколько времени должно пройти, прежде чем популяция превысит 10, превысит 100 и превысит 1 000? Используйте MATLAB, чтобы вычислить это экспериментальным путём, а затем вычислите аналитически, используя логарифмирование и тот факт, что . Обнаруживается ли закономерность в изменениях вычисленной продолжительности? Объясните, когда и почему значение стабилизируется.
1.1.6. Если бы данные в таблице 1.2 о численности докторов физико-математических наук были собраны по десятилетиям с момента основания института математики, соответствовали бы они геометрической модели? Будет ли численность соответствовать геометрической модели хотя бы в некотором временном интервале? Объясните наблюдаемое явление.
Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72
1.1.7. Заполните пропуски:
а. Модели и
представляют растущие значения, когда
любое число в диапазоне _______, а
любое число в диапазоне _______.
б. Модели и
представляют уменьшающиеся значения, когда
любое число в диапазоне _______, а
любое число в диапазоне _______.
в. Модели и
представляют стабильные значения, когда
любое число в диапазоне _______ и когда
любое число в диапазоне _______.
1.1.8. Объясните, почему модель не может иметь смысла для описания численности популяции, когда
.
1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью и
. Найдите
для
.
1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при если всякий раз, когда
, имеем
.
а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при если всякий раз, когда
, имеем
.
б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние , если ___.
в. Может ли модель, описываемая равенством иметь устойчивое состояние? Объясните почему.
1.1.11. Объясните, почему модель приводит к формуле
.
1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет , то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет
, число смертей
, число иммигрантов равно
, а число эмигрантов равно
, для некоторых
,
,
и
. Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством
и выведите формулу для вычисления
.
1.1.13. Как хорошо известно лимнологам и океанографам, количество солнечного света, проникающего на различные глубины воды, может сильно повлиять на численность живущих там организмов. Предположим, что вода имеет равномерную мутность, а количество обитателей на каждом метре в глубину пропорционально количеству поступающего света.
а. Объясните, почему это приводит к модели вида , где
обозначает количество света, проникшего на глубину
метров.
б. В каком диапазоне должны находиться параметры этой модели, чтобы иметь физический смысл?
в. При и
постройте график
для
.
г. Применима ли аналогичная модель к фильтрации света через полог леса? Применимо ли там предположение о «равномерной мутности»?
1.1.14. В таблице 1.3 приведены данные о численности обучающихся физмат школ.
а. Изобразите данные на графике. Соответствуют ли эти данные геометрической модели роста? Объясните почему да или почему нет, используя графические и численные методы оценки. Можете ли придумать факторы, которые приведут к отклонению от геометрической модели?