Далее займёмся вопросами линеаризации. Следующая цель определить, что заставляет одни равновесия быть стабильными, а другие нестабильными.
Стабильность зависит от того, что происходит вблизи равновесия. Итак, чтобы сконцентрироваться в окрестности 
, рассмотрим популяцию 
, где 
очень маленькое число, которое говорит о том, насколько далеко популяция находится от состояния равновесия. Называется отклонением от равновесия и интересно тем, как оно меняется с течением времени. Вычислим 
и используем его для поиска 
. Если больше, чем по абсолютной величине, то можно сделать вывод о том, что 
отдалилось от . Если наоборот, меньше по абсолютной величине, то приблизилось к . Если теперь проанализировать, как меняется на всех достаточно малых значениях , то можно будет определить, является ли исследуемое равновесие стабильным или нестабильным. Растущее отклонение означает нестабильность, в то время как уменьшающееся означает стабилизацию. Здесь не учитывается знак отклонения, рассматривая лишь абсолютное значение. Знак стоит принимать во внимание в последнюю очередь, так как он не имеет прямого отношения к вопросу о стабильности.
Пример. Рассмотрим модель 
, с которой уже сталкивались ранее и знаем, что равновесие достигается в точках 
и 10. В первую очередь исследуем 
, которое, судя по графику, стабилен на основании численных экспериментов. Подстановка значений 
и 
в уравнение для модели приводит к следующему выводу:
Заметим, что является очень малым числом, меньше 1, следовательно, 
еще меньше и ничтожно мало по сравнению с . Таким образом 
.
Это означает, что значения 
близкие к равновесию будут иметь отклонение от равновесия, уменьшающееся примерно в 0.3 раза с каждым последующим шагом времени. Поэтому небольшие отклонение от равновесия в дальнейшем уменьшаются и действительно стабильное значение.
Можно смотреть на число 0.3 как на «коэффициент растяжения», который говорит о том, насколько стремительно меняются отклонения от равновесия с течением времени. В данном примере, поскольку растягиваемся в менее чем 1 раз, на деле имеет место сжатие.
Процесс, описанный в примере выше, называется линеаризацией модели в равновесии, потому что сначала фокусируем внимание вблизи равновесия путем линейной замены , а затем игнорируем члены степени больше 1 в . Остается только линейная модель, аппроксимирующая исходную модель. Линейные модели, как видели, легко понять, потому что они производят либо экспоненциальный рост, либо распад.
Вопросы для самопроверки:
Выполните аналогичный анализ для другого равновесия этой модели, чтобы показать, что оно нестабильно. Каким будет коэффициент растяжения, на который расстояния от точки равновесия растут с каждым шагом времени?
В результате аналогичного анализа в окрестности 0 обнаружится, что линеаризация при дает 
. Поэтому возмущения от этого равновесия со временем растут, следовательно, неустойчиво. В общем случае, когда коэффициент растяжения больше 1 по абсолютной величине, равновесие нестабильно. И наоборот, когда оно меньше 1 по абсолютной величине, равновесие стабильно.
Из курса математического анализа известно, что вышеописанный процесс линеаризации напоминает аппроксимацию графика функции по касательной прямой. Развивая эту идею коэффициент растяжения в предыдущем примере можно было бы выразить как отношение 
при бесконечно малых значениях . Но 
, где 
уравнение, определяющее модель. Заметим, что в последнем равносильном преобразовании использовалось равенство 
. Поскольку интересны лишь значения , очень близкие к , то последнее выражение очень близко к предельному значению 
. Но этот предел по определению является не чем иным, как производной 
, производной функции, определяющей модель. Итак, мы доказали следующую теорему.