а. Постройте график функции от
с использованием MATLAB путем ввода команды:
x=[0:.1:12]
y=.8*x.*(1-x/10)
plot(x,y)
б. Постройте график функции от
путем изменения команд MATLAB из части (а).
в. Вычислите значения для
при
. Затем на графике из части (б) постройте паутину, начинающуюся с
. Можно добавить линию
на графике, введя команды
hold on, plot(x,y,x,x)
Полученная паутинная диаграмма достаточно точно соответствует таблице значений?
1.2.7. Если бы данные в таблице 1.6 о численности популяции были собраны в ходе лабораторного эксперимента, описывались бы они хотя бы приблизительно логистической моделью? Объясните почему. Если данные описываются логистической моделью, то можете ли оценить и
в модели
?
Таблица 1.6. Значения численности популяции
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72
1.2.8. Предположим, что популяция моделируется уравнением когда
измеряется поштучно.
а. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но с популяцией, измеряемой в тысячах штук. Подсказка: пусть , тогда
и можно найти формулу для описания зависимости
от
.
б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.
1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции .
а.
б.
в.
г.
Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.
1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?
1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.
a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно , и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве
, преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве
в момент времени
. Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему
. Какие значения
являются допустимыми? Какой смысл имеет
? Как выглядит график функции
от
?
b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно и то одно химическое вещество преобразуется в другое химическое вещество, которое получается в количестве
. Объясните, почему в данном случае
. Если
мало, но не равно нулю, то как будет выглядеть график функции
от
? Если
, то как будет выглядеть график функции
от
? Можете ли интуитивно объяснить форму полученного графика? Обратите внимание на тот факт, что
будет очень маленьким, потому что используется небольшой интервал времени. Модель логистического роста в таких случаях иногда также называют автокаталитической моделью.