Всего за 0.01 руб. Купить полную версию
III. Обычно, в математике, когда говорят о доказательстве, имеют в виду проверку высказанного утверждения.
Доказать какое-либо утверждение это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и они. Т.е. основным способом доказательства является дедуктивный вывод.
Доказательство это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Доказательство в виде цепочки умозаключений выполняется в соответствии с правилами вывода и указанием всех посылок, оно не предназначено для постоянного использования на практике, где чаще пользуются свернутыми схемами умозаключений.
Применяются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и четыре основных закона логики:
1. Закон тождества.
Каждая мысль, повторяемая в рассуждении, должна быть тождественна самой себе. Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, а одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные за тождественные.
2.Закон непротиворечия.
Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, одно из них всегда ложно.
Если в в мышлении или речи человека обнаружено логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение вытекающее из него ложным.
3. Закон исключенного третьего.
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете, одно истинно, другое ложное, третьего быть не может.
Этот закон требует выбора одной из взаимоисключающих альтернатив.
4. Закон достаточного основания.
Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых уже доказана.
Т.е. истинность утверждения нельзя принимать на веру. В качестве аргументов для доказательств используются определения понятий, доказанные теоремы и правила.
Следовательно, при доказательстве необходимо
1) иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;
2) понимать, что доказательство- это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по правилам и законам логики;
3) понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
Доказательства существуют трех видов:
1) прямое,
2) косвенное,
3) полная индукция.
Прямое доказательство это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А => В с соблюдением правил и законов логики, истинность которых доказана.
В доказательстве об утверждении, что четырехугольник, у которого три углы прямые, то это прямоугольник, является прямым, т.к. основываясь на истинном предложении с учетом теоремы, строится цепочка дедуктивных утверждений, приводящая к истинному заключению.
Косвенное доказательство доказательство методом от противного. При доказательстве теоремы А => В, допускают, что заключение В ложно, а отрицание истинно. Предложение В (не В) присоединяется к совокупности истинных посылок, и строится умозаключение до тех пор, пока не получится противоречивое утверждение для А. Устанавливают противоречие, на основании закона о непротиворечии, и делают вывод, что предположение было ложным. Значит, на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что и требовалось доказать.
Полная индукция метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.
Способы определения понятий в начальном курсе математики
План:
I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.
II. Объем и содержание понятия.
III. Отношения между понятиями.
IV. Определение понятий.
1. Понятие определения.
2. Виды определений.
3. Определение через род и видовое отличие.
I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, разбивают на четыре группы: