После этого проанализируйте формулы для трех случаев: когда скорости вращения и движения совпадают, а также когда скорость вращения очень мала или, наоборот, очень велика по сравнению с поступательным движением. Это наведет вас на мысль, как ответить на вопрос задачи.
РешениеРассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равна v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω угловая скорость вращения в данный момент, а R радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке серой стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем
Рис. 2. Скорости и силы на маленьком участке кольца
Эти выражения выглядят громоздкими, но они получаются из обычных формул сложения двух векторов скоростей.
Сила трения, действующая на этот участок, по модулю равна F = μmg (здесь m масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, F cos β, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, F sin (β α). Не стесняясь, подставим сюда выражения для синуса и косинуса угла β, а также учтем, что sin (β α) = sin β cos α cos β sin α:
У этой силы есть также проекция вбок, то есть перпендикулярно поступательному движению, но при усреднении по всему кольцу эта проекция обнулится. В этом можно убедиться математически, если рассмотреть второй участок, находящийся под углом π α. Для него построение аналогичное, две притормаживающие проекции будут такими же, а сила вбок ровно противоположная.
Для того чтобы посчитать эффект для всего кольца в целом, надо сложить эти силы по всему кольцу, то есть учесть элементы кольца, расположенные под всеми углами α. Это даст нам два ускорения, притормаживающих поступательное движение и вращение:
Угловые скобки обозначают усреднение по всем углам α; это последствие того, что мы общую силу поделили на общую массу. При желании его можно выразить через интегралы, но это не обязательно.
Заметьте интересную особенность полученных формул: при замене u на v выражения для au и av превращаются друг в друга. Такая «дуальность» задачи автоматически означает, что если бы начальные скорости u и v были равны, то ускорения au и av тоже были бы одинаковые и, значит, соотношение u = v выполнялось бы всегда, до самой остановки. А это, в свою очередь, означает, что вращение и скольжение в данном случае прекратятся одновременно. Смотрите, произошло математическое «чудо»: мы, просто глядя на формулы, вдруг получили ответ для нашей задачи, по крайней мере для одного начального состояния!
А что изменится, если начальные скорости u и v различаются? Тогда ускорения тоже будут отличаться, и, казалось бы, заранее не понятно, что будет замедляться быстрее. Чтобы выяснить, может ли при этом вращение остановиться раньше скольжения, рассмотрим ситуацию, когда скорость вращения u много меньше скорости поступательного движения v. Тогда для поступательного ускорения мы получим примерно av = μg, словно вращения и не было. Для вращательного ускорения au получим маленькую величину порядка μg·u/v, поскольку «большой» вклад, пропорциональный синусу, обнулился после усреднения по всем углам (более точное выражение см. в послесловии). Иными словами, если вращение очень медленное, то оно и замедляется намного медленнее, чем скольжение. Можно сказать и так: относительное замедление вращения (au/u) пропорционально относительному замедлению скольжения (av/v). Отсюда и следует, что скольжение и вращение не могут прекратиться в разные моменты времени.