Чтобы понять сложную динамику, лежащую в основе передачи болезни, эпидемиологи часто используют набор математических моделей. Эти модели, разработанные в начале XIX века, разделяют население на группы, как правило, на основе их риска или статуса инфекции. В основе указанных моделей лежит система дифференциальных уравнений, отслеживающих количество людей в каждой категории на протяжении времени.
Среди первых в мире эта проблема заинтересовала швейцарского математика Даниила Бернулли. Для определения общей эффективности вариоляции он предложил уравнение, которое описывало долю людей в каждой возрастной группе, никогда не болевших оспой и, следовательно, рискующих ею заразиться. Свое уравнение он выверял по таблице смертности, составленной Эдмундом Галлеем (прославившимся наблюдением за кометами), которая описывала, какая часть всех родившихся доживала до определенного возраста. На этой основе Бернулли смог вычислить соотношение выздоровевших и умерших к общему числу тех, кто переболел оспой. С помощью второго уравнения он подсчитал число жизней, которые можно было спасти, если бы вариоляции регулярно подвергали все население. Бернулли пришел к выводу, что при всеобщей вариоляции почти 50% новорожденных доживали бы до 25 лет. По сегодняшним меркам число удручающее, но по сравнению с показателем в 43% при свободном распространении оспы это был существенный прогресс. Он также показал, что прививка способна увеличить среднюю ожидаемую продолжительность жизни более чем на три года. Для Бернулли необходимость государственной медицинской программы борьбы с оспой была очевидна18.
В конце XIX века вспышка чумы в Индии привела к одному из самых важных открытий в истории эпидемиологии. Никто не знает точно, как эта болезнь попала в Бомбей в августе 1896 года. Наиболее вероятным объяснением, похоже, является то, что на борту торгового судна, прибывшего в Бомбей из британской колонии в Гонконге, оказались крысы, «перевозившие» блох, которые, в свою очередь, распространяют бактерию Yersinia pestis чуму.
К маю 1897 года жесткие меры по сдерживанию распространения чумы, казалось, затушили пожар эпидемии. Однако в течение следующих 30 лет болезнь периодически возвращалась в Индию, убив более 12 млн человек.
В разгар одной из таких вспышек в 1901 году в Индию прибыл молодой шотландский военный врач Андерсон Маккендрик. За 20 лет, проведенных в Индии, он изучил инфекционные заболевания, которые могут передаваться от животных людям. Вернувшись в Шотландию, Маккендрик занял должность руководителя лаборатории Королевской медицинской коллегии Эдинбурга. Там он познакомился с биохимиком Уильямом Кермаком. Воспользовавшись данными о чуме в Бомбее, собранными Маккендриком в Индии, они создали одну из первых математических моделей распространения инфекционных болезней. Они разделили население на три основные категории в соответствии со статусом заболевания. Тех, кто еще не заболел, назвали «восприимчивыми» (Susceptible). Предполагалось, что восприимчивыми и способными к заражению рождаются все. Тех, кто заразился и был способен передать болезнь восприимчивым, назвали «инфицированными» (Infected). В третью группу, названную «выбывшие» (Removed), входили и те, кто переболел и приобрел иммунитет, и те, кто не справился с инфекцией и умер. Во всяком случае, выбывшие больше не способствовали распространению болезни. Это классическое математическое представление распространения инфекции называется моделью SIR.
Кермак и Маккендрик продемонстрировали функциональность SIR-модели, показав, что она точно воссоздает динамику заболевания чумой во время вспышки 1905 года в Бомбее. На протяжении 90 лет с момента создания SIR-модель (и ее модификации) успешно применялась для описания и профилактики всевозможных заболеваний от лихорадки денге в Латинской Америке до европейской чумы свиней в Нидерландах и норовируса (желудочного гриппа) в Бельгии19.
Во время распространения пандемии COVID-19 в Китае начали разрабатывать и другие математические модели, учитывающие известные особые характеристики именно этого заболевания, такие как наличие инфекционных невыявленных случаев и различные медицинские и инфекционные условия госпитализированных людей. В частности, одна из моделей включает новый подход, который рассматривает долю выявленных случаев по сравнению с реальным общим числом инфицированных, что позволяет изучить важность этого соотношения для воздействия COVID-19. Модель также может оценить потребность койко-мест в больницах20.