Рис. 2.4. Рассечение гиперкуба. Случай двумерного пространства. Обратите внимание на уравнения x2 = x1 или привычнее y = x это линяя под углом 45 градусов или биссектриса угла. Подумайте, как будут расположены точки на прямой, описываемой уравнением x2 =-x1
А почему они будут одинаковы? задумчиво спросил Борщов.
Потому что каждая пирамида имеет одинаковую высоту, равную как раз половине ребра гиперперкуба и основания каждой пирамиды одновременно являются гранями гиперкуба, а в силу симметрии грани между собой конгруэнтны, проще говоря равны. Более того эти пирамиды правильные, их грани равны и боковые ребра равны, поскольку являются полудиагоналями гиперкуба, что составляет a * n /2.
Ага, вижу .
Рис. 2.5. Рассечение гиперкуба. Случай трёхмерного пространства.
Матвей, ты хочешь сказать, что эти пирамиды также вписаны друг в друга: большая, малая и средняя? спросила его Татьяна.
Да, они также вписаны как и гиперкубы, но я их не стал изображать, чтобы не затруднить восприятие.
Я кажется догадалась, ты сейчас расскажешь нам о симметрии! предвосхитила с улыбкой Татьяна.
Совершенно точно! ответил Матвей. Все, что касается соотношения объёмов гиперкубов повторяется и для этих пирамид, но в силу симметрии мы можем сфокусироваться лишь на одной пирамиде, если хотите, называйте гиперпирамиде, но первое проще
Матвей, вдруг заговорил после небольшой паузы Борщов, если Вы всё-таки склоняется нас в пользу геометрической наглядности, то не могли бы Вы сформулировать и саму Великую теорему в геометрической форме?
С радостью! ответил Матвей. Он перелистнул пару листов и наконец с расстановкой зачитал:
Формулировка теоремы Ферма в геометрической форме
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
В n-мерном пространстве объем a-Малого гиперкуба (объединение 1n и последовательное наращивание k слоёв) прибавить объем b-Среднего гиперкуба (наращивание ещё l слоёв) образует объем c-Большого гиперкуба (ещё m слоёв). Ребра гиперкубов целые числа. Все слои следуют последовательно и непрерывно, пронумерованы натуральными числами. Чтобы правая и левая часть уравнения Ферма были равны, необходимо соблюдение ряда условий:
с одной стороны:
центральная симметричность фигуры в виде трёх вложенных гиперкубов, непрерывность следования слоёв, их полное заполнение гиперкубиками
с другой стороны:
объём a-Малого гиперкуба равен объему множества точек между с-Большим и b-Средним гиперкубами.
При n> 2 эти условия являются взаимоисключающими и невыполнимы.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Легко убедиться на примере любой (обозначается как ) Пифагоровой тройки, что последнее условие, в случае такой тройки, выполняется в двумерном пространстве, т.е. для вписанных друг в друга квадратов. Формула теоремы Ферма это аналог теоремы Пифагора, но в n-мерном пространстве. Если хотя бы Пифагорова тройка в n-мерном пространстве найдется, то Теорема Ферма и его уравнение будут опровергнуты.
Пока все понятно, кроме слоя, что это такое? спросил Борщов.
Строго математически мы вводим определение слоя S как множества точек в n мерном пространств, полученное в результате разности множеств точек вписанных друг в друга гиперкубов, с общей вершиной, рёбра которых отличаются на единицу, как на экзамене ответил Матвей (см. Рис 2.2.).
А если не вершины, а центры гиперкубов общие, указав на шахматную доску, сказала Татьяна, то рёбра гиперкубов, ограничивающие слой будут отличаться на двойку?
Абсолютно точно! кивнул Матвей. Но мы будем выбирать то или иное множество фигур.
1) множество фигур «начало координат в вершинах» вписанными друг в друга гиперкубов, совмещенных по произвольной вершине
или
2) в «начало координат в центре всех трёх гиперкубов an, bn, cn».
Обе геометрических фигуры соответствующих каждому из только то заданных множеств точек пространства, преобразуются друг в друга за счет отражений от гиперплоскостей, перпендикулярных каждой из n осей координат либо рассечения фигуры на «гиперквадранты» и масштабирования. Вспомните наши эксперименты с салфеткой! Матвей схватил со стола сложенную дважды пополам салфетку и продемонстрировал ее всей компании.