ЗАДАЧА 7
(29 сентября)
Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?
ЗАДАЧА 8
(30 сентября)
Число называется продолговатым, если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы. Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.
Будет ли число предстоящего года продолговатым?
Дополнительные вопросы
1. Будет ли постое число продолговатым?
2. Может ли продолговатое число быть простым?
3. Всегда ли составное число будет продолговатым?
4. Всегда ли продолговатое число будет составным?
ЗАДАЧА 9
(1 октября)
Число называется прямоугольным, если оно представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Будет ли число предстоящего года прямоугольным?
Дополнительные вопросы
1. Будет ли прямоугольное число продолговатым?
2. Может ли продолговатое число быть прямоугольным?
3. Любое ли составное число будет прямоугольным?
4. Всегда ли прямоугольное число будет составным?
ЗАДАЧА 10
(2 октября)
Продолжаем геометрическую тему: фигурные многоугольные числа. Если некоторое количество точек можно расставить в виде правильного треугольника, то число, соответствующее этому количеству, называется треугольным.
Является ли число предстоящего года треугольным?
ЗАДАЧА 11
(3 октября)
Если некоторое количество точек можно расставить в виде квадрата, то число, соответствующее этому количеству, называется квадратным.
Является ли число предстоящего года квадратным?
Дополнительные вопросы
Будет ли число предстоящего года
пятиугольным,
шестиугольным,
любым другим фигурным многоугольным числом?
ЗАДАЧА 12
(4 октября)
Является ли число предстоящего года значением факториала какого-либо натурального числа?
ЗАДАЧА 13
(5 октября)
Натуральное число, для которого не существует натурального квадратного корня, иногда называют глухим.
Является ли число предстоящего года глухим?
Дополнительные вопросы
1. Будет ли глухое число квадратным?
2. Если число является квадратным, то может ли оно быть глухим?
3. Какой традиционный термин используют для названия чисел, не являющихся глухими?
ЗАДАЧА 14
(6 октября)
Является ли число предстоящего года совершенным?
ЗАДАЧА 15
(7 октября)
Натуральное число называется почти совершенным, если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных2 Натуральное число называется почти совершенным, если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных
Например, все степени числа 2 являются почти совершенными числами: 4 1 = 1 +2; 16 1 = 1 +2 +4 +8 и т. д.
Будет ли число предстоящего года почти совершенным?
ЗАДАЧА 16
(8 октября)
Натуральное число называется кратно совершенным (или мультисовершенным), если сумма всех его делителей кратна ему самому.
Будет ли число предстоящего года кратно совершенным?
ЗАДАЧА 17
(9 октября)
Натуральное число называется неприкасаемым, если оно не равно сумме собственных делителей ни одного другого натурального числа.
Является ли число предстоящего года неприкасаемым?
ЗАДАЧА 18
(10 октября)
Число, которое кратно сумме своих цифр, называется числом харшад (в переводе с санcкрита «великая радость»).
Будет ли число предстоящего года числом харшад?