f22 = f221 + f222 + f223 = 9000, (8) *5
f33 = f331 + f332 + f333 = 12000, (12) *9
3×x111 = 3×x221, (16) *10
2×x111 = 2×x331, (17) *11
4×4×221 = 4×331, (18) *12
3×x112 = 3×x222, (21) *13
2×x112 = 2×x332, (22) *14
4×x222 = 4×x332, (23) *15
3×x113 = 3×x223, (26) *16
2×x113 = 2×x333, (27) *17
4×x223 = 4×x333, (28) *18
x111 = x112, (32) *19
x111 = x113, (33) *20
x112 = x113, (34) *21
x221 = x222, (35) *22
x221 = x223, (36) *23
x222 = x223, (37) *24
x331 = x332, (38) *25
x331 = x333, (39) *26
x332 = x333. (40) *27
Таким образом сократилось не только число уравнений, но и число неизвестных ограничилось девятью переменными. Эти девять переменных полностью представлены в трёх уравнениях (4) *1, (8) *5 и (12) *9. При этом остальные переменные могут быть выражены через эти девять, что видно по равенствам от (16) *10 до (40) *27. В результате и число уравнений, необходимых для получения решения стало равным девяти. Приведём ниже один из вариантов этих «необходимых» уравнений и численную оценку самих переменных.
Рассмотрим равенства (4) *1, (32) *19 и (33) *20:
f11 = f111 + f112 + f113 = 6000, (4) *1
x111 x112, (32) *19
x111 x113. (33) *20
Получаем очевидное решение для следующих трёх неизвестных переменных:
x111 = 6000/3 = 2000; x112 = 2000; x113 = 2000.
Далее, рассмотрим равенства (8) *5, (35) *22 и (37) *24:
f22 = f221 + f222 + f223 = 9000, (8) *5
x221 x222, (35) *22
x222 x223, (37) *24
Получаем очевидное решение для других трёх неизвестных переменных:
x222 = 9000/3 = 3000; x221 = 3000; x223 = 3000.
Наконец, рассмотрим равенства (12) *9, (39) *26 и (40) *27:
f33 = f331 + f332 + f333 = 12000, (12) *9
x331 x333, (39) *26
x332 x333. (40) *27
Получаем очевидное решение для последних трёх неизвестных переменных:
x333 = 12000/3 = 4000; x331 = 4000; x332 = 4000
Таким образом для получения искомого решения оказалось достаточно лишь девяти вышеприведённых уравнений, а именно: (4) *1, (32) *19, (33) *20, (8) *5, (35) *22, (37) *24, (12) *9, (39) *26 и (40) *27. Как ранее было показано прочие переменные этой системы линейных уравнений в данном численном примере равны нулю.
Матрица с численными решениями (численные значения неизвестных переменных в тысячах штук) приведена на рисунке 15. В целях наглядности численные значения неизвестных переменных дополнены (графически) тройными индексами самих переменных, то есть индексами ячеек, элементами которых являются эти переменные.
Рис. 15. Балансовая трёхмерная матрица с численными решениями условного примера «обмена» (значения неизвестных переменных даны в тысячах штук)
Из матрицы с численными решениями (см. рис.15, справа внизу «Срез по продукту j = 1») видно, что агент с индексом j = 1, выступая в роли агента-производителя, отчуждает в пользу агента с индексом j = 1 выступающего в роли агента-потребителя, j = 1 тысячи (2000) штук продукта с индексом j = 1. Это отображено в ячейке матрицы с координатами: j = 1, в которой располагается элемент матрицы j = 1ijk с тройным индексом (113). Этот тройной индекс последовательно расшифровывается следующим образом: j = 1.