4 × (x121 + 4 × (x221 + 4 × (x3214 × (x = 4 × (x131 + 4 × (x231 + 4 × (x3314 × (x, (18) *12
3 × (x112 + 3 × (x212 + 3 × (x3123 × (x = 3 × (x122 + 3 × (x222 + 3 × (x3223 × (x, (21) *13
2 × (x112 + 2 × (x212 + 2 × (x3122 × (x = 2 × (x132 + 2 × (x232 + 2 × (x3322 × (x, (22) *14
4 × (x122 + 4 × (x222 + 4 × (x3224 × (x = 4 × (x132 + 4 × (x232 + 4 × (x3324 × (x, (23) *15
3 × (x113 + 3 × (x213 + 3 × (x3133 × (x = 3 × (x123 + 3 × (x223 + 3 × (x3233 × (x, (26) *16
2 × (x113 + 2 × (x213 + 2 × (x3132 × (x = 2 × (x133 + 2 × (x233 + 2 × (x3332 × (x, (27) *17
4 × (x123 + 4 × (x223 + 4 × (x3234 × (x = 4 × (x133 + 4 × (x233 + 4 × (x3334 × (x, (28) *18
(x111 + (x211 + (x311(x112 + (x212 + (x312(x, (32) *19
(x111 + (x211 + (x311(x113 + (x213 + (x313(x, (33) *20
(x112 + (x212 + (x312(x113 + (x213 + (x313(x, (34) *21
(x121 + (x221 + (x321(x122 + (x222 + (x322(x, (35) *22
(x121 + (x221 + (x321(x123 + (x223 + (x323(x, (36) *23
(x122 + (x222 + (x322(x123 + (x223 + (x323(x, (37) *24
(x131 + (x231 + (x331(x132 + (x232 + (x332(x, (38) *25
(x131 + (x231 + (x331(x133 + (x233 + (x333(x, (39) *26
(x132 + (x232 + (x332(x133 + (x233 + (x333(x. (40) *27
Аналитическое решение этой линейной системы уравнений позволяет получить следующие значения неизвестных переменных xijk:
x111 = 2000, x112 = 2000, x113 = 2000,
x211 = 0, x212 = 0, x213 = 0, x311 = 0, x312 = 0, x313 = 0;
x221 = 3000, x222 = 3000, x223 = 3000,
x121 = 0, x122 = 0, x123 = 0, x321 = 0, x322 = 0, x323 = 0;
x331 = 4000, x332 = 4000, x333 = 4000,
x131 = 0, x132 = 0, x133 = 0, x231 = 0, x232 = 0, x233 = 0.
Следует при этом заметить, в отношении самой процедуры решения, что конкретные условия данной задачи позволяют значительно сократить число уравнений в системе и упростить его. Это сокращение по существу и было сделано в начале изложения упрощённого табличного решения с «заменой индексов».
Так, например, содержащееся в настоящей задаче условие производства j-го продукта только одним j-ым агентом производства обращает целый ряд неизвестных переменных jijk в ноль и сокращает необходимое для решения системы число линейных уравнений с 27 до 9. При этом исходное равенство переменных нулю достаточно просто и наглядно объясняется указанными специфическими, конкретными, условиями задачи.
В частности, на схеме рисунка 14, повторяющей три j-ых среза трёхмерной балансовой матрицы «обменов» рисунка 13, обозначения неизвестных переменных, равных нулю по указанным специфическим условиям задачи, заменены их значением «j». Так, например, так как первый агент-производитель с индексом j производит только продукт с индексом j, то переменные j131, j132, j133, j121, j122, j123 равны нулю (= 0). Очевидно, что этот агент-производитель не производит продукты с индексами jиj, а поэтому и предложить их «к обмену» не может. Аналогично обстоит дело и с агентами-производителями j производящими только, соответственно, продукты jиj