Наконец, по условиям задачи, имеем одинаковые объёмы потребления каждым i-ым агентом и по каждому i-ому продукту:
(x111 + (x211 + (x311(x112 + (x212 + (x312(x113 + (x213 + (x313(x, (29)
(x121 + (x221 + (x321(x122 + (x222 + (x322(x123 + (x223 + (x323(x, (30)
(x131 + (x231 + (x331(x132 + (x232 + (x332(x133 + (x233 + (x333(x. (31)
Эти три тройных равенства позволяют получить ещё девять линейных уравнения:
из первого тройного равенства (29) получим по продукту j = 1 следующие три линейных уравнения:
(x111 + (x211 + (x311(x112 + (x212 + (x312(x, (32) *
(x111 + (x211 + (x311(x113 + (x213 + (x313(x, (33) *
(x112 + (x212 + (x312(x113 + (x213 + (x313(x; (34) *
из второго тройного равенства (30) получим по продукту j = 2 следующие три линейных уравнения:
(x121 + (x221 + (x321(x122 + (x222 + (x322(x, (35) *
(x121 + (x221 + (x321(x123 + (x223 + (x323(x, (36) *
(x122 + (x222 + (x322(x123 + (x223 + (x323(x; (37) *
из третьего тройного равенства (31) получим по продукту j = 3 следующие три линейных уравнения:
(x131 + (x231 + (x331(x132 + (x232 + (x332(x, (38) *
(x131 + (x231 + (x331(x133 + (x233 + (x333(x, (39) *
(x132 + (x232 + (x332(x133 + (x233 + (x333(x. (40) *
Известно, что для решения этой системы (линейных) уравнений в задаче с 27 неизвестными переменными необходимо 27 линейных уравнений. Напомним, что решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных (и определитель ее основной матрицы не равен нулю), то такие системы называются элементарными и имеют одно единственное решение.
Выпишем из уравнений (4) (40) систему линейных уравнений, порядковые номера которых отмечены звёздочкой () *. Общее число этих уравнений равно 27 (верхний индекс рядом со звёздочкой есть порядковый номер этого линейного уравнения в линейной системе уравнений данной задачи):
f11 = f111 + f112 + f113 = 6000, (4) *1
f21 = f211 + f212 + f213 = 0, (5) *2
f31 = f311 + f312 + f313 = 0, (6) *3
f12 = f121 + f122 + f123 = 9000, (7) *4
f22 = f221 + f222 + f223 = 0, (8) *5
f32 = f321 + f322 + f323 = 0, (9) *6
f13 = f131 + f132 + f133 = 12000, (10) *7
f23 = f231 + f232 + f233 = 0, (11) *8
f33 = f331 + f332 + f333 = 0, (12) *9
3× (x111 + 3× (x211 + 3× (x3113× (x = 3× (x121 + 3× (x221 + 3× (x3213× (x, (16) *10
2 × (x111 + 2 × (x211 + 2 × (x3112 × (x = 2 × (x131 + 2 × (x231 + 2 × (x3312 × (x, (17) *11
4 × (x121 + 4 × (x221 + 4 × (x3214 × (x = 4 × (x131 + 4 × (x231 + 4 × (x3314 × (x, (18) *12