Андрей был старшим сыном московского воеводы, князя Михаила Михайловича Курбского, который имел боярский чин. В 1549 году юный князь в звании стольника участвовал во втором походе Ивана Грозного на Казанское ханство. Вскоре после возвращения из этого похода князь был отправлен на воеводство в Пронск (в древности город, ныне посёлок городского типа на Рязанщине). Несмотря на свою молодость, пользовался особым доверием царя.
В 1552 году Иван Грозный с большой армией выступил в новый поход на Казанское ханство. В это время крымский хан Девлет Герай с войском вторгся в южнорусские земли и осадил Тулу. Туда был направлен «полк правой руки» под командованием князей Андрея Курбского и Петра Щенятова. В битве с крымскими татарами Курбский был ранен. Отличился он вместе с братом Романом и при штурме Казани. Едва не погиб князя спасла кольчуга.
В марте 1553 года Иван Грозный серьёзно заболел и велел боярам принести присягу на верность своему малолетнему сыну Дмитрию (этот царевич умер в младенчестве, как и другой Дмитрий много лет спустя в Угличе). Однако многие бояре и сановники поддерживали кандидатуру удельного князя Владимира Андреевича Старицкого. В их числе был и Курбский.
Но Иван Грозный стал поправляться. Похоже, его «смертельная болезнь» была проверкой своих подданных. Ещё одной проверкой была отправка Андрея Курбского, Ивана Шереметева (Большого) и Семёна Микулинского на подавление мятежа в бывшем Казанском ханстве, присоединённом в 1552 году к Русскому государству. Князья вернулись в Москву с победой. В том же 1556 году А. М. Курбский был пожалован царём в бояре.
Во время Ливонской войны он командовал сторожевым полком. И удача от него отвернулась. Одно поражение следовало за другим, что вызвало гнев царя. Когда начались казни воевод, попавших в опалу, Курбский бежал в Литву, где его радушно приняли. В июле 1564 года великий князь литовский Сигизмунд Август передал во владение знатному русскому беглецу обширные поместья в Литве и на Волыни.
Надо сказать, что на службу к Сигизмунду Августу Курбский поступил не один, а со многими своими сподвижниками. Это, конечно же, ослабило русскую армию.
Мнения о Курбском, как политическом деятеле и человеке, не только различны, но и диаметрально противоположны. Одни видят в нём консерватора, человека крайне ограниченного, но высокого самомнения, противника самодержавия. Бегство в Великое княжество Литовское объясняют расчётом на житейские выгоды, а его поведение в Литве считают проявлением разнузданного самовластия и грубейшего эгоизма; ставится под сомнение даже искренность и целесообразность его трудов на поддержание православия.
По убеждению других, Курбский личность умная и образованная, честный и искренний человек, всегда стоявший на стороне добра и правды. Его называют первым русским диссидентом (Википедия).
Во время Смуты
Предатели расплодились и во время Смуты. Но часть обвинений были ложными. В частности, опала бояр Романовых при Борисе Годунове. Это была банальная месть за то, что они были против избрания царём боярина, не принадлежавшего к роду Рюриковичей. Действия Бориса Годунова вписывались в логику того времени. Новый царь устранял конкурентов, расчищал путь к трону для своего сына Фёдора.
«Дело Романовых» началось с доноса казначея Бартенёва, служившего во дворе у боярина Александра Никитича Романова. Он якобы обнаружил в доме мешки с «волшебными» кореньями, с помощью которых Романовы хотели «извести» государя (Российский государственный архив древних актов РГАДА).
Сегодня это обвинение кажется абсурдным, но тогда многие верили. Бартенёв, как уверяли Романовы, оговорил их по указке Семёна Годунова, которого якобы направлял царь Борис. Но их объяснения тогда никто не принял во внимание. Прежде всего, Боярская дума, которая активно это абсурдное обвинение поддерживала.
Заодно судили и князя Бориса Черкасского. Его пытали. Под следствие попал весь клан Романовых, в том числе и их родственники по женской линии. Никаких других доказательств заговора против царя, кроме уже упомянутых мешков с кореньями, не нашли, но и этого было достаточно, чтобы гонениям подвергнуть всех Романовых братьев Федора, Александра, Василия, Михаила и Ивана Никитичей и дочерей Никиты Романовича Евфимию Сицкую и Марфу Черкасскую со своими семьями. Фёдора Романова (будущего патриарха Филарета) заставили принять постриг и разлучили с женой и детьми, отправив на Двину, в Антониев-Сийский монастырь. Александра Романова Борис Годунов сослал в Усолье, где тот и погиб. Погибли в Ныробе и Пелыме Михаил и Василий Никитичи. Помиловали только Ивана. Умер в ссылке на Белозере и князь Борис Черкасский. Другие близкие родственному кругу Романовых князья Сицкие, Шестуновы, Шереметевы, Долматовы-Карповы были наказаны не так сурово.