Глезер, несмотря на свою занятость на административной работе, уделял Штаркману больше внимания, чем другим ученикам, справедливо считая юного пианиста подающим наибольшие надежды. В школе обратили внимание на выдающееся дарование ребенка. Он играл на всех школьных концертах, его неизменно показывали приезжавшим в Киев музыкантам. В 11 лет Штаркман впервые сыграл с оркестром Концерт Мендельсона g-moll; выступление имело заслуженный успех.
20 апреля 1940 года в Большом зале Киевской консерватории состоялся первый сольный концерт Наума Штаркмана, учившегося в то время в пятом классе музыкальной школы-десятилетки. Концерт состоял из двух отделений и включал произведения Баха, Скарлатти, Бетховена, Шопена, Шумана, Листа, Рахманинова.
Одновременно с интенсивными занятиями на фортепиано мальчик пробовал сочинять, входил в существовавшую в то время в Киеве группу юных композиторов. Рано и счастливо развившееся музыкальное дарование сулило Штаркману вполне предсказуемое яркое будущее Но в жизнь всего его поколения жестоко ворвалась война.
Отца Штаркмана мобилизовали 22 июня, и вскоре он погиб под Киевом. Анна Наумовна с сыном долго не могли выехать из Киева, и только 13 августа, перед самым приходом фашистов на последнем товарном поезде покинули город. Без вещей, кратко делится воспоминаниями Наум Львович. Поезд шел под обстрелом, бомбежками. Они ехали месяц голодные, сами не зная, куда просто туда, куда их вез поезд.
В Свердловске они вышли из поезда для того, чтобы купить хлеба, и неожиданно встретили эвакуировавшегося ранее И.Д. Глезера. Глезер помог им остаться в Свердловске. Анна Наумовна устроилась рабочей на военном заводе, Штаркмана приняли в музыкальное училище и дали койку в общежитии. Он продолжал, как и в Киеве, заниматься у Глезера, только в еще несравнимо более трудных условиях. В 1943 году в Свердловске открыли музыкальную школу-десятилетку при Уральской консерватории (И.Д. Глезер стал директором десятилетки), и Наум Штаркман продолжил учебу в этой школе.
Среди учеников Свердловской средней специальной музыкальной школы не одно десятилетие впоследствии ходили легенды о том, как занимался Штаркман. В годы войны трудно было всем, но условия жизни Штаркмана и на этом фоне выглядели очень тяжелыми. Не хватало элементарного еды, одежды. И, тем не менее, он занимался так увлеченно и много, как, наверное, никто из его сверстников. Сам он объясняет свое отношение к занятиям в детстве и юности просто: Я был очень старательным.
Естественно, что в результате целеустремленных занятий Штаркман вскоре обратил на себя внимание крупнейших музыкантов, которых в годы войны на Урале было множество. В Свердловск были эвакуированы видные музыканты из Москвы, Ленинграда и других крупных музыкальных центров страны.
Военный период для развития музыкальной культуры и музыкального образования на Урале можно охарактеризовать поговоркой не было бы счастья, да несчастье помогло. В Уральской консерватории преподавали такие мастера, как Н.Н. Позняковская, Н.И. Голубовская, Б.С. Маранц, С.С. Бендицкий, а также Г.Г. Нейгауз. Всем им музыкальная культура Урала обязана мощным творческим импульсом, ощущающимся до сих пор.
С Нейгаузом приехали многие его ученики. Свердловские музыканты, учившиеся в годы войны, имели возможность посещать уроки замечательного мастера. Часто приезжал в Свердловск к своему учителю молодой, но уже прославленный Эмиль Гилельс. Концертная жизнь была насыщенна и интересна. И на этом фоне юный Штаркман обратил на себя внимание. Г.Г. Нейгауз неоднократно слушал его.
Я очень хотел учиться у Нейгауза, вспоминает Наум Львович. Я в Свердловске играл ему у него дома. Причем у него в это время сидел Гилельс, я играл сразу двоим и жутко волновался.
Нейгауз сказал, что возьмет меня, но тут обиделся Глезер. Он не хотел, чтобы я уходил от него к Нейгаузу в Свердловске.
Ситуация сложилась столь же деликатная, сколь и распространенная применительно к одаренным ученикам. Рано или поздно большинству из них приходится покидать своего первого учителя, и многие предпочитают делать это рано. Штаркман не захотел сделать больно своему первому учителю даже ради того, чтобы учиться у почитаемого всеми Нейгауза. Этот штрих говорит о многом в человеческом облике пианиста.
Конечно, Глезер понимал, что вскоре ему придется все равно расстаться с любимым учеником; недаром он не хотел, чтобы Штаркман уходил от него в Свердловске продолжать учебу талантливый юноша, по мнению свердловских музыкантов, должен был в Москве. Но почему же Штаркман и в Москве не стал учеником Нейгауза?