Общая собственная полезность агента, таким образом, равна сумме взвешенных CES-агрегаторов будущего потребления и досуга, а взвешивающими множителями выступают вероятности дожития и факторы временных предпочтений.
Полезность, которую агент получает от уровня потребления его детей, имеет вид, сходный с видом функции собственной полезности. Так в полезность родителя входит дисконтированная сумма полезности от будущего потребления всех его детей, включая тех, чье рождение ожидается в будущем. Вид соответствующей функции следующий:
В периоде t рассмотрим агента, который относится к когорте возраста a и классу производительности k. Число детей, которые у него будут, когда агент достигнет возраста i, обозначим через KID(a, i, t, k), а потребление каждого ребенка через cK(a, i, t, k).
Если ввести дополнительное обозначение d(a, z, t) для вероятности, с которой агент заданного поколения умрет в возрасте равном ровно z, то вероятность дожития P(a, i, t) можно представить в виде:
Совокупная стоимость активов, которыми в периоде t располагает агент, относящийся к классу производительности k и принадлежащий поколению возраста a, обозначим через A(a, t, k). В каждом периоде агент получает доход от предложения труда, платит налоги и получает трансферты, получает наследство от родителя и затрачивает средства на собственное потребление и потребление своих детей. В соответствии с предположениями модели, в каждый период времени у агента есть общий запас времени, который он может распределить между досугом, входящим в его функцию полезности, и рабочим временем. Общий запас доступного времени обозначим как h(a, t), тогда время, которое агент будет предлагать на рынке труда, равно h(a, t) l(a, t, k). Обозначив зарплату, выплачиваемую за единицу рабочего времени, через w(t, k), можно получить выражение для трудового дохода агента в виде:
Общие затраты на потребление (собственное и потребление детей) представляются в виде:
Наследство, полученное агентом, обозначим как I(a, t, k). Чистую стоимость уплачиваемых агентом налогов обозначим через T(a, t, k). Тогда, если обозначить ставку доходности как r(t), уравнение, описывающее динамику стоимости активов, принадлежащей выбранному агенту, можно записать следующим образом:
Активы, находившиеся в собственности всех умерших агентов в рамках одного класса производительности, суммируются в общий пул и затем распределяются среди живущих агентов этого класса в возрасте от 23 до 67 лет. Если общая стоимость пула активов равна A(t, k), то вся когорта агентов в возрасте l получает долю Г(l, t) этого пула и эти активы равномерно распределяются среди членов когорты, численность которой обозначена как N(l, t, k). Соответственно, данные доли суммируются к единице по всем указанным возрастам:
При этом распределение Г(l, t) соответствует распределению по возрастам всех детей агентов, умерших в данном году. Правило, в соответствии с которым агент из когорты возраста l получает долю наследства, задается формулой:
Технический прогресс задается через повышение эффективности труда со временем. Этот эффект моделируется нами следующим образом. Предполагается, что общий запас времени, которое агент может распределять между досугом и трудом, увеличивается с одинаковым ежегодным темпом λ. Это может быть интерпретировано как то, что постепенно с течением времени рабочая сила становится более продуктивной (см. [6]). С учетом введенного ранее обозначения h(a, i) для общего запаса времени, которым располагает агент возраста a в периоде i, технический прогресс задается правилом:
Такой метод моделирования технического прогресса обеспечивает сходимость к долгосрочному устойчивому равновесию. Иные способы моделирования технического прогресса, включая добавления специальных множителей, отвечающих за рост производительности труда в производственную функцию, создают трудности для корректного определения долгосрочного равновесия при заданной структуре предпочтений. Это, в свою очередь, создает проблемы при использовании итерационного метода определения траектории, по которой экономика сходится к своему долгосрочному равновесию. Причина этого в том, что для использования данного метода ключевую роль играют терминальные условия, т.е. условия, соответствующие долгосрочному равновесию экономики.