Угол
Перемещения и вращения на концах стержня:
Матрица С [20,с.70]:
Матрица интерполяционных функций, посредством которой вводится связь между перемещениями на краях и для любой точки по оси стержневого элемента:
Делитация связана с перемещением:
Для вектора деформации:
(составляющие деформации в зависимости от составляющих перемещений находятся применением матрицы оператора над матрицей интерполяционных функций).
Lматрица-оператор, для плоских задач
Arматрица интерполяции
Для матрицы интерполяции могут быть приняты функции вида:
По уравнению :
Пропуская математические выкладки, получается:
Для конечного элемента так как перемещения на концах равны нулю, матрица жесткости записывается в виде [20,с.505]:
Теперь, подставив в уравнениематрицы получится:
Вводится обозначение:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена (см. о решении уравнений в программе MathCAD):
Для случая б), т.е. для второй части на рисунке выше, перемещение в узле 1 и вращение в узле 2 равны 0. С учетом этого матрицы k и m уменьшаются:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена:
Эпюра собственных колебаний вала:
__
Итак, в разделе показаны теоретические основы расчета методом конечных элементов валов на свободные колебания.
Теорию можно сравнить с теорией ручного расчета по теории колебаний. Можно сделать вывод о том, что по теории колебаний применяется принцип Даламбера, для приближенного исследования колебаний используется метод Релея, а в расчетах по МКЭ используется вариационная формулировка по принцип Гамильтона с составлением и решением матриц.
Расчет по методу МКЭ является более обоснованным теоретически и позволяет выполнять расчет валов с мешалками и опорными узлами любой конфигурации.
Можно сделать вывод о том, что квалификации расчетчиков для расчетов ручным методом по теории колебаний и расчетов МКЭ являются приблизительно одинаковыми на основании сравнения сложности расчетных методик.
Нормативная методика по РТМ не выглядит обоснованной по сравнению с расчетами МКЭ и ручными расчетами по теории колебаний.
Мешалки
В настоящее время эффективность перемешивания определяется помещением индикатора в перемешиваемый объем аппарата (или лабораторной установки) и фиксацией времени и наличия установления равномерного распределения (окрашивания) индикатора по объему.
Такой подход нельзя считать полностью корректным. Определяются неоднородность перемешивания, распределение твердой фазы в жидком объеме др. параметры, определяющие качество перемешивания.
В вытяжной трубе при аэродинамических испытаниях автомобилей или авиационной техники, конструкцию обдувают окрашенной струей и фиксируют реакцию струи в части обтекания в зависимости от геометрической формы (конфигурации) конструкции.
Для мешалок необходимо объединить два указанных подхода.
То есть наметить структуру потоков в аппарате в зависимости от его геометрических параметров, затем выбрать мешалку, которая отбрасыванием потока жидкости от лопастей создает намеченную структуру потока. И по введению индикатора можно установить степень полноты распределения индикатора, как эффективность перемешивания.
__
Приведем структуры потоков для распространенных типов мешалок по данным Ф. Стренка [27,с.46]:
Также Ф. Стренк приводит направление тока для различных положений пропелерной мешалки [27,с.60]:
Стренк приводит изменение линий тока в зависимости от высоты установки мешалки в аппарате [27,с.104]:
Для шнековой мешалки Ф. Стренк также приводит линии тока [27,с.65]:
Используя данные и направлении токов для различных мешалок в зависимости от геометрических параметров применяемого аппарата должен выполняться подбор мешалки.
Перечень конструкций корпусов аппаратов, в которых устанавливаются мешалки, приводит Стренк [27,с.68]:
Траектория после пропеллерного устройства по данным работы Прандтля [33,с.304]:
Лопасти мешалки вступают в контакт с жидкостью поочередно. На границе лопасти происходит образование поверхности раздела. Вода между лопастями имеет скорость равную скорости лопаток, затем после выхода перемешиваясь в объеме аппарата, скорость снижается. В практике изучение перемешивающих устройств анализировалось распределение и перемешивание потоков, но не выход с лопаток мешалки. Анализ направления выхода потоков струй с лопасти позволит создавать траектории потока с заданной геометрией, а не фиксировать завихрения после той или иной мешалки.
Теория гребного винта отличается от теории крыла тем, что лопасти винта описывают винтовые линии при движении вперед, а крыло движется только вперед.
В случае гребного винта вращение снижает КПД, но в случае мешалки, вращение необходимо для перемешивания. И возникает проблема эффективного рассеяния энергии в объеме аппарата. Та энергия, которая теряется для винта, для мешалки не теряется и должна использоваться для интенсификации процесса. Однако, решение о возможности перемешивания соосными мешалками противоположного вращения без закручивания будет представлено ниже.
Васильцов [1,с.82] приводит эпюру поля скоростей для лопастной мешалки и аппарата без отражательных перегородок:
Также Васильцов приводит [1,с.100] эпюру поля скоростей для турбинной мешалки и аппарата с отражательными перегородками:
Для оценки гидродинамического режима перемешивания анализируется профиль скорости.
В работе [28,с.22] рекомендуется подбирать мешалки в зависимости от режима движения жидкости при перемешивании. В этой же работе [28,с.23] отмечается, что различие в условиях перемешивания между мешалками может быть скомпенсировано частотой вращения и диаметром мешалки. Авторы приводят пример, по которому для трёхлопастной и турбинной мешалки равного диаметра для одинакового режима движения взвешенных частиц, скорость вращения турбинной мешалки должна быть ниже. Результат авторов можно объяснить траекторией линий воздействия лопастей мешалок на жидкость.
__
Мешалки выбираются по АТК 24.201.17-90 или изготавливаются с нестандартными размерами.
Мешалки конструктивно состоят из втулки и установленных на ней лопастей. Поэтому объект мешалки можно рассматривать как базовое устройство с рядом исполнений, получаемых внесением изменений в базовую конструкцию. Например, из лопастной мешалки скручиванием лопастей получается пропеллерная мешалка, открытое пропеллерное насосное колесо, введением дисков и разнесением лопастей получаются турбинные мешалки.
Такая попытка объединить конструкции мешалок позволяет лучше подбирать геометрию мешалки под намеченную структуру потока в аппарате, определяемую направлением отбрасывания жидкости от лопастей мешалки.
лопастная мешалка с параллельными лопастями оси [20,с.254]:
трехлопастная (или шести) мешалка с лопастями под углом 30° (получается изменением угла установки лопасти):
пропеллерная мешалка с лопастью постоянного шага [20,с.256] (получается изменением шага лопасти):