1.3. Приведенная стоимость денежного потока
Денежную сумму, которую необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенное время получить данную будущую стоимость, называют приведенной стоимостью (present value).
Имеет место следующее равенство:
где
РV – приведенная стоимость инвестиции;
FV – будущая стоимость;
Т – срок инвестиции;
r(m) – процентная ставка при начислении процентов m раз в год.
Процентную ставку r(m), используемую для определения приведенной стоимости инвестиции, называют ставкой дисконтирования (discount rate). Если ставка дисконтирования определяется при непрерывном начислении процентов, то формула (1.10) принимает вид:
Пример 1.5. Менеджер пенсионного фонда должен через 6 лет выплатить 10 млн долл. В данный момент менеджер имеет возможность инвестировать любую сумму под 7,5 % при начислении процентов дважды в год. Сколько должен инвестировать менеджер пенсионного фонда, чтобы выполнить свое обязательство?
Приведенная стоимость 10 млн долл. может быть найдена по формуле (1.10):
Следовательно, менеджер должен инвестировать 6 428 989,78 долл., чтобы через 6 лет получить 10 млн долл.
Из равенства (1.10) следует, что при прочих равных условиях:
1) чем больше ставка дисконтирования, тем меньше приведенная стоимость, и наоборот;
2) чем меньше срок инвестиции, тем больше приведенная стоимость, и наоборот.
Приведенная стоимость потока денежных платежей определяется в виде суммы приведенных стоимостей платежей, образующих этот денежный поток.
Пример 1.6. Финансовый директор компании знает, что ему предстоит произвести следующие платежи:
Какую денежную сумму необходимо инвестировать сегодня, чтобы обеспечить выполнение обязательств, если процентная ставка равна 6 % при начислении процентов дважды в год?
Достаточно определить приведенную стоимость данного потока платежей:
Если денежный поток представляет собой обыкновенную ренту, по которой т раз в год в течение Т лет выплачивается одна и та же денежная сумма А, то приведенная стоимость такой ренты может быть найдена следующим образом:
Пример 1.7. Банк согласился предоставить 30-летний ипотечный кредит в размере 100 000 долл. По условиям ипотечного кредитования ежемесячные платежи заемщика должны быть одинаковыми. Годовая процентная ставка, требуемая банком, равна 12 %. Какова величина ежемесячного платежа заемщика?
Величина ежемесячного платежа заемщика определяется из условия, что приведенная стоимость потока платежей заемщика должна составить 100 000 долл. Значит,
Обыкновенную ренту называют бессрочной[14] (perpetual annuity), если поток рентных платежей не ограничен по времени. Приведенная стоимость бессрочной ренты, по которой m раз в год выплачивается сумма А, может быть найдена следующим образом:
1.4. Внутренняя доходность финансовых инструментов
Внутренней доходностью (internal rate of return – IRR) финансового инструмента называют процентную ставку, при которой приведенная стоимость потока платежей по данному финансовому инструменту совпадает с его рыночной ценой.
Пример 1.8. Финансовый инструмент продается по цене 1243,82 долл., и по нему каждые 6 месяцев выплачивается по 50 долл. в течение 5 лет и еще 1000 долл. в конце пятого года. Покажем, что внутренняя доходность данного финансового инструмента при начислении процентов дважды в год составляет 4,5 %.
Приведенная стоимость денежного потока по данному финансовому инструменту определяется следующим образом:
где r(2) – годовая процентная ставка при начислении процентов дважды в год.
При r(2) = 0,045 имеем
Так как приведенная стоимость денежного потока, определяемого финансовым инструментом, совпала с его рыночной ценой, то внутренняя доходность этого инструмента действительно равна 4,5 %.
Рассмотрим финансовый инструмент со следующим потоком платежей:
Внутренняя доходность рассматриваемого финансового инструмента при начислении процентов m раз в год является решением уравнения:
где Р – рыночная цена финансового инструмента.
Функция
стоящая в правой части уравнения (1.14), всегда является убывающей и выпуклой. График функции изображен на рис. 1.1.Для решения уравнения (1.14) можно использовать метод проб и ошибок. Вначале найдем простым подбором числа α1 и β1 так, чтобы P(α1) > Р, а P(β1) < Р (рис. 1.2). Тогда искомая внутренняя доходность будет находиться между α1 и β1, т. е. у ∈ (α1, β1). Промежуток (α1, β1) разделим на 10 равных частей. И, вычисляя значение функции Р(у) в точках деления, найдем числа α2 и β2 так, чтобы:
Тогда у ∈ (α2, β2). Повторяя данную процедуру несколько раз, можно найти достаточно малый промежуток (α1, β1), на котором находится искомая внутренняя доходность. В этом случае искомую внутреннюю доходность можно определить на основе линейной интерполяции:
Определим внутреннюю доходность финансового инструмента при начислении процентов дважды в год, если рыночная цена финансового инструмента равна 7000 долл.