Как шаху могла понравиться игра «Убей правителя» – загадка. Однако, гласит легенда, шах был настолько восхищен новым развлечением, что предложил великому визирю самому назначить себе награду. Предложение не застало того врасплох. Визирь ответил, что он человек скромный и просьба его будет самой скромной. Вот игровая доска, расчерченная на восемь столбцов и восемь рядов. Пусть на первую клетку положат всего лишь одно зернышко пшеницы, на вторую в два раза больше, на третью – еще в два раза больше и так далее, пока все клетки не будут заполнены. Шах запротестовал. Столь ничтожная плата за такое замечательное изобретение! Он предлагал драгоценности, красавиц, дворцы. Но мудрец, смиренно потупившись, отвергал любые дары. Все, что ему нужно, – малая толика пшеницы. И правитель, втайне сетуя на непритязательность и упрямство своего советника, согласился.
Однако, когда хранитель царской житницы принялся отсчитывать зерно, открылся неприятный сюрприз. Все началось с малого: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024… Но чем дальше, тем более чудовищными, невообразимо огромными становились числа. Последней, 64-й клетке соответствует почти 18,5 квинтиллиона (см. врезку далее). Вероятно, великий визирь сидел на диете с высоким содержанием клетчатки.
Сколько весят 18,5 квинтиллиона зерен пшеницы? Если принять размер каждого зернышка равным миллиметру, то их общий вес составит около 75 млрд тонн – намного больше запасов любого шаха. Собственно говоря, это урожай за 150 лет при современных объемах производства. Дальнейшее тонет во мраке времен. Уступил ли шах мудрецу свою державу, коря себя за пренебрежение арифметикой, или предпочел сыграть в новую игру «визирьмат», осталось неведомым.
Возможно, история изобретения персидских шахмат – всего лишь сказка. Но древние персы и индийцы действительно совершили немало блистательных открытий в математике и хорошо представляли, какие результаты дает последовательное удвоение. Если бы шахматные партии разыгрывались на доске с сотней клеток (10 × 10), шах задолжал бы визирю пшеницу общим весом, равным весу Земли. Числовая последовательность, в которой каждое следующее число является результатом умножения предыдущего на фиксированную величину, называется геометрической прогрессией, а соответствующий процесс увеличения итога – экспоненциальным ростом.
Геометрические прогрессии встречаются во всех важных сферах жизни, обыденных и экзотических. Для примера рассмотрим сложный процент. Если бы ваш предок 200 лет назад, вскоре после Войны за независимость, положил в банк $10 под 5 % годовых, то на счете уже было бы $10 × 1,05200, или $172 925,81. (Чтобы узнать, сколько будет 1,05200, нужно попросту умножить число 1,05 само на себя 200 раз.) Жаль, что немногие предки так заботятся о благосостоянии отдаленных потомков, да и $10 – в те времена солидная сумма – нашлись бы не у каждого. Если бы ваш щедрый пращур разместил вклад под 6 % годовых, вы бы унаследовали больше миллиона, под 7 % – больше $7,5 млн. Фантастические 10 % годовых принесли бы вам кругленькую сумму – $1,9 млрд.
Аналогично «работает» инфляция. При уровне инфляции 5 % в год доллар через год будет стоить $0,95, через два года (0,95)² = $0,91, через 10 лет «похудеет» до $0,61, через 20 – до $0,37 и т. д. Это самым непосредственным образом касается пенсионеров, годовые выплаты которым являются фиксированными и не индексируются с учетом инфляции.
Многократное удвоение и, следовательно, экспоненциальный рост – характерная особенность воспроизводства биологических организмов. Начнем с простого примера – бактерии, размножающейся делением. Через положенное время каждая из двух дочерних бактерий также делится надвое. При достаточном количестве пищи и отсутствии ядов в среде обитания колония бактерий растет в геометрической прогрессии. В самых благоприятных условиях удвоение их численности происходит примерно каждые 15 минут: четыре удвоения в час, 96 в сутки. Одна бактерия весит около одной триллионной доли грамма, но всего через сутки безудержного размножения ее потомки сравняются весом с горой, через каких-нибудь полтора дня – с Землей, а через двое суток перетянут на весах Солнце… Пройдет еще немного времени, и вся Вселенная будет заполнена бактериями. Перспективы не слишком радужные, но, к счастью, несбыточные. Почему? Потому что подобный экспоненциальный рост неизбежно упирается в тот или иной естественный барьер. Букашки, например, съедают всю пищу, отравляют друг друга или перестают спариваться, когда их слишком много. Экспоненциальный рост не может продолжаться вечно, иначе он поглотил бы все, но задолго до этого в игру вступает сдерживающий фактор. Экспоненциальная кривая выходит на плато (см. рисунок).
Эта особенность очень важна в свете эпидемии СПИДа. Ныне во многих странах количество людей с симптомами этой болезни растет в геометрической прогрессии, удваиваясь ежегодно. Это значит, что каждый год носителей вируса СПИД становится в два раза больше, чем было в прошлом году. СПИД уже привел к огромным людским потерям. Если бы экспоненциальное распространение эпидемии продолжилось, человечество ждала бы небывалая катастрофа. Через 10 лет число заболевших увеличилось бы в тысячу раз, а через 20 лет – в миллион. Умножив нынешнее количество больных на миллион, получим результат, намного превышающий население Земли. Если бы ежегодное удвоение числа больных СПИДом не имело никаких естественных ограничений, а само заболевание неизбежно приводило к фатальному исходу (и было абсолютно неизлечимым), то все земляне умерли бы от СПИДа, и очень быстро.
Однако некоторые люди обладают врожденным иммунитетом. Кроме того, по данным Центра по борьбе с инфекционными болезнями Министерства здравоохранения США, экспоненциальный рост заболеваемости СПИДом поначалу происходил почти исключительно в группах риска, представители которых – прежде всего гомосексуальные мужчины, больные гемофилией и лица, употребляющие внутривенные наркотики, – практически не имеют половых контактов с остальным населением. Если лекарство от СПИДа не будет найдено, героиновые наркоманы, имеющие привычку колоться общими иглами, умрут. Не все – благодаря врожденному иммунитету, но почти все. Та же судьба ждет гомосексуалистов, имеющих беспорядочные и незащищенные связи, однако минует тех, кто никогда не пренебрегает средствами защиты, хранит верность постоянному партнеру, а также входит в число немногих счастливчиков, невосприимчивых к этому заболеванию. Стопроцентные гетеросексуалы, с начала 1980-х гг. не изменяющие друг другу (или практикующие безопасный секс), при условии, что они не пользуются общими шприцами, – а таких людей большинство – в общем, застрахованы от СПИДа. После того как кривые заболеваемости групп наибольшего риска выйдут на плато, настанет очередь менее уязвимых групп. В настоящее время в Америке это, видимо, гетеросексуальная молодежь, не умеющая обуздывать страсти и увлекающаяся небезопасными экспериментами. Многие из них умрут, кого-то спасет везение, врожденный иммунитет или воздержанность, а пик роста заболеваемости переместится в очередную по рискованности группу – возможно, следующее поколение мужчин-гомосексуалистов. В итоге экспоненциальная кривая всего человечества выйдет на плато, а СПИД убьет гораздо меньше людей, чем все население Земли (что, впрочем, едва ли утешит множество его жертв и их близких).
* * *
Кризис перенаселения Земли также связан с явлением экспоненциального роста. Большую часть существования человечества его численность была практически постоянна – рождаемость и смертность уравновешивали друг друга. Такое состояние называется динамическим равновесием. С развитием сельского хозяйства, включая методы возделывания той самой пшеницы, которую так жаждал великий визирь, численность людей стала увеличиваться и вошла в фазу экспоненциального роста. А это что угодно, только не равновесие. Сейчас население нашей планеты удваивается за 40 лет. Каждые 40 лет нас становится в два раза больше. Английский священник Томас Мальтус еще в 1798 г. заметил: население, растущее по экспоненте, – в терминологии Мальтуса, в геометрической прогрессии – будет голодать при любом росте производства продуктов питания. Никакая зеленая революция, никакая гидропоника, никакое освоение пустынь не компенсирует экспоненциального роста количества едоков.