Всего за 259.9 руб. Купить полную версию
Рис. 11. Магический квадрат из домино
Рис. 12. Прогрессия из домино
Игра в 15, или такен
Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр, математика В. Аренса.
Рис. 13. Игра в 15
«Около полувека назад – в конце 70-х годов – вынырнула в Соединённых Штатах «игра в 15»; она быстро распространилась и благодаря несчётному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.
То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы германского Рейхстага. «Как сейчас вижу в Рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку», – вспоминает известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший депутатом в годы игорной эпидемии.
Рис. 14. Самуэль Лойд, изобретатель игры в 15
В Париже игра эта нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из столицы по всей провинции. «Не было такого уединённого сельского домика, где не гнездился бы этот паук, подстерегая жертву, готовую запутаться в его сетях», – писал один французский автор.
В 1880 году игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Но вскоре после этого тиран был повержен и побеждён оружием математики. Математическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, разрешима только половина; другая не разрешима никакими ухищрениями.
Рис. 15. Нормальное расположение шашек (положение I)
Рис. 16. Неразрешимый случай (положение II)
Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям и почему устроители турниров отваживались назначать огромные премии за разрешения задач. В этом отношении всех превзошёл изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты для воскресного прибавления неразрешимую задачу с премией в 1000 долларов за её разрешение; так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести названную сумму из собственного кармана. Имя изобретателя Самуэль (Сам) Лойд. Он приобрёл широкую известность как составитель остроумных задач и множества головоломок. Любопытно, что получить в Америке патент на придуманную игру ему не удалось. Согласно инструкции, он должен был представить «рабочую модель» для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику патентного бюро задачу, и, когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически невозможно». – «В таком случае, – последовало возражение, – не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Лойд удовлетворился этой резолюцией, – но, вероятно, был бы более настойчив, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения».
Приведём собственный рассказ изобретателя игры о некоторых фактах из её истории:
«Давнишние обитатели царства смекалки, – пишет Лойд, – помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем «игры в 15» (рис. 15). Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шашки 14 и 15 были переставлены, как показано на прилагаемой иллюстрации (рис. 16). Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение, причём, однако, порядок шашек 14 и 15 должен быть исправлен.
Рис. 17. «Фермеры забрасывали свои плуги…»
Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролёт простаивавших под уличным фонарём, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурманы, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги».
* * *
Познакомим читателя с начатками теории этой игры. В полном виде она очень сложна и тесно примыкает к одному из отделов высшей алгебры («теория определителей»). Мы ограничимся лишь некоторыми соображениями, изложенными В. Аренсом.
«Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, то есть в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо – 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даём здесь на рис. 15.
Вообразите теперь расположение, при котором 15 шашек размещены в пёстром беспорядке. Рядом передвижений всегда можно привести шашку 1 на место, занимаемое ею на рисунке.
Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на соседнее место вправо. Затем, не трогая шашек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на их нормальные места: если они случайно не находятся в двух последних вертикальных рядах, то легко привести их в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь верхняя строка 1, 2, 3, 4 приведена в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем. Таким же путём стараемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13; это тоже всегда возможно. Из всех приведённых в порядок шашек 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 в дальнейшем ни одной не перемещают; остаётся небольшой участок в шесть полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15в произвольном порядке. В пределах этого шестиместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки 10, 11, 12. Когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещёнными либо в нормальном порядке, либо в обратном (рис. 16). Таким путём, который читатели легко могут проверить на деле, мы приходим к следующему результату.
Любое начальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 15 (положение I), либо рис. 16 (положение II).
Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквой может быть преобразовано в положение I, то, очевидно, возможно и обратное – перевести положение I в положение 5. Ведь все ходы шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 12 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями.