Так почему же дроби оказались сложнее интегралов? Ведь для человека, который освоил нормально весь курс школьной математики, последовательность сложных тем должна быть совсем другой. Принципиально другой. И то, что мы наблюдаем на эксперименте, – нуждается в нетривиальном объяснении.
В школьной математике (на мой субъективный репетиторский взгляд), самое сложное – это ее кошмарная занудность. Пятикласснику – решить двадцать «примеров» на перемножение трехзначных чисел. И какие там «школьные годы чудесные…» – скорей бы все это кончилось! Школьная математика – марафон на выживание: у кого к первому курсу сохранится способность логически мыслить или интуитивно чувствовать решения, тому уже многое в жизни нипочем. А трудные темы – те, на которых больше всего народу ломается. Кто-то скис на теме «дроби» – и для него будут трудными дроби. Кто-то – сломался на устном счете, в первом или втором классе. А кому-то повезло больше, он на тригонометрии ушел в отключку – и поэтому тригонометрия лидирует по непонятности. Остается предположить, что до математического анализа, до производных и интегралов мозги доживают только у единиц.
Я чаще всего замечал два рубежа возникновение нелюбви и непонимания.
Первый – седьмой-восьмой классы, когда на ученика обрушиваются:
а) алгебра с ее формализмом тождественных преобразований никому не нужных уродливых буквенных выражений и
б) геометрия в принятом у нас аксиоматическом изложении, логику которого могут постичь лишь очень одаренные дети.
В результате школьники, как роботы, решают алгебраические примеры и зубрят наизусть доказательства геометрических теорем, то есть занимаются бессмысленной работой, вызывающей только раздражение.
Второй рубеж – десятый класс, когда резко усложняется алгебра и начинается (снова с этих проклятых аксиом!) стереометрия. То и дело приходилось слышать: «В девятом классе я еще что-то понимал(а), но сейчас…» Зачастую катализатором становится приход новой учительницы, которая начинает игру по своим правилам, и ребенок на какой-то момент выключается. А включиться обратно уже не удается.
Психологические особенности? Мне лично труднее всего работать с людьми неэмоциональными. У которых в запасе одна-две ноты, а лицо ничего не выражает. Таких, увы, много. И виню я в этом, среди прочего, нашу дебилизующую школьную программу по математике. Анна, как я ее ненавижу, Вы бы знали…
Игорь Вячеславович Яковлев, репетитор по математике и физике.
«У меня не получается. У меня нет способностей к математике. Я гуманитарий», – эти оправдания каждый репетитор слышит неоднократно. Как и слова родителей о нежелании учиться и переходном возрасте. Но все это – поверхность, внешние симптомы. А что в глубине, из чего вырастает такая безнадежность, с чем все-таки репетитору приходится работать? Ну что же, попробуем разложить по пунктам.
Пункт первый – недостаток элементарных математических навыков. Большинство учеников, приходящих ко мне в одиннадцатом классе, умножают сто на двадцать восемь – в столбик. Им не объяснили, что можно сделать по-другому. А уж деление на сто вызывает почти непреодолимые сложности.
Редкий ученик, увидев квадратное уравнение
30 х² + 30 х – 180 = 0,
догадается поделить обе части на 30. Так и будут считать дискриминант и корни, и скажут: дискриминант слишком большой, не вычисляется.
Не страшно, если ученик не может устно умножить 59 на 3. И не страшно даже, что он сделает ошибку при вычислении в столбик. Хуже, если, вычислив в столбик и получив в ответе четное число, он не замечает своей ошибки.
О, столбик! Столбик этот (как догма, как единственный способ вычисления) – отдельная песня, одна из худших в школьной математике. Если ваш ученик отвернулся, скукожился, закрылся от вас локтем и что-то долго делает в уголке листа, мелким почерком, многократно зачеркивая, – будьте уверены, он считает в столбик. При этом у него предельно серьезное выражение лица.
И ведь все это – и неумение чувствовать числа, и манера поведения – откуда-то из младшей и средней школы тянется.
И поэтому я часто спрашиваю: «А как это сделать проще?» Как обойтись без столбика и посчитать быстрее? Например, возвести 31 в квадрат, пользуясь формулой сокращенного умножения. Должна же быть от этих формул хоть какая-то польза.
Второе, с чем каждый репетитор-математик неминуемо сталкивается – ученик не понимает сути математических действий.
Действий-то этих не так много – сложение, умножение, вычитание, деление. А еще – степени. И функции. Но редкий ученик знает об этом, а потому придумывает свои, полуфантастические: «убрать икс», «избавиться от корня» (как от нечисти такой, которой в приличном уравнении не место), и, конечно, любимое – «отбросить логарифмы». Да, вот так и отбросить, как копыта.
Я называю это магическим отношением к математике. Для многих школьников математика – это иррациональное нечто, которое умом не понять, а можно только выучить ряд заклинаний и шаблонных действий. Да, ученик пробовал понять. Но не получилось. И потому – он выработал более комфортные для себя стратегии. Он поверил в формулы, как молодой дикарь – в амулеты. Он впадает в панику, если листочек со спасительными «формулами» забыт или конфискован. «Неизвестно, откуда они появились, но без них нельзя». А мы еще удивляемся – откуда у людей с высшим образованием вера в гороскопы и приметы?
А когда число 2,3 выпускник упорно называет «две третьих»? 0,5 – «ноль пятых»? Когда пишет, что х = 121 = 11 и объясняет, что, мол, надо было корень извлечь, дык я и извлек? И мне приходится рассказывать, что знак равенства ставится только между равными величинами, и 11 никак не равно 121, вот представь, будешь ты получать зарплату в 11 тысяч рублей или в 121 тысячу, есть же разница?
А еще я люблю гамбургер. Так я называю многоэтажные дроби. Я прошу ученика (а работаю я с выпускниками) поделить три четверти на одну восьмую, и – вот оно, родное!
3
4
1
8
И тогда я радуюсь, рисую в тетради у ученика Биг Мак (из Макдональдса, с котлетой и соусом), и рассказываю, что дробная черта и вот такой : в виде двоеточия, знак деления – это одно и то же! И он смотрит на меня такими глазами, что видно – никто ему раньше этого не говорил.
Третье явление я назову «методикой размножения ошибок». Я подозреваю, что это именно методика. То есть ей в школе обучают специально. Например, учат сокращать дроби – и показывают, что числитель и знаменатель надо зачеркнуть и написать рядом другие цифры. А потом и другие зачеркнуть и написать третьи, совсем малюсенькие. Цель данной методики – не иначе как экономия бумаги, а корнями, полагаю, уходит она во времена военного коммунизма, земских школ, а то и берестяных грамот.
Для меня загадка – кто все-таки учит ребят исправлять, то есть карябать одну цифру поверх другой? Ведь понятно же, что разобрать будет очень трудно. Но нет – бумагу надо экономить.
А еще такая белая китайская субстанция под названием «штрих». Сделав ошибку, ученик замазывает ее пастой из тюбика, ждет, пока высохнет, а затем пишет сверху – красота!
При этом он уже подзабыл, что там было правильно, а что – нет, да и не разобраться теперь, да и ладно, все равно я гуманитарий и мне математика не дается!
И поэтому я на первом же занятии ученикам говорю: «У нас с тобой будет такое правило – ничего не исправляем, одно поверх другого не пишем, потому что неразборчиво получается. Лучше зачеркни всю строчку и аккуратно перепиши внизу. Бумаги у нас много». И вроде мелочь – а действует!
Четвертая причина проблем с математикой – непонятные слова и символы. Часто ученик не может «написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 5», потому что не понимает, что такое абсцисса. А спросить – стесняется. И мне самой приходится спрашивать ребят, что такое функция, что значит – решить уравнение, где у дроби числитель, а где знаменатель. Я уж не говорю о вопросе «Что такое производная?» Редкий отличник даст на него ответ.
Непонимание происходит, как обычно, от незнания языка.
В математике множество условностей и сокращений. Первое, что нужно сделать, когда сталкиваемся с непониманием, – максимально развернуть рассматриваемый объект, разложить его на простейшие и расшифровать все сокращения.
Сергей Германович Кузнецов, учредитель Компании «Ваш репетитор»
Как, например, объяснить ученику, что 3+2х не равно 5х? Да так и объяснить. На простых примерах. На яблоках и грушах. На мышах и бегемотах.