Задачи со спичками
111. Из шести три
Перед вами (рис. но) фигура, составленная из 18 спичек. Вы видите в ней 6 одинаковых квадратов. Задача состоит и в следующем: нужно убрать 5 спичек, не перекладывая остальных, так, чтобы осталось всего 3 квадрата.
Рис. 110.
112. Оставить пять квадратов
В решетке из спичек, представленной на рис. 111, нужно так убрать 4 спички, не трогая остальных, чтобы осталось 5 квадратов.
Рис. 111.
113. Оставить четыре квадрата
Из той же фигуры (рис. 111) так извлеките 8 спичек, не трогая других, чтобы оставшиеся спички составили 4 одинаковых квадрата.
114. Оставить три квадрата
В той же решетке (рис. 111) так уберите 6 спичек, не перекладывая остальных, чтобы осталось всего 3 квадрата.
115. Оставить два квадрата
И наконец, в той же фигуре (рис. 111) так уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь два квадрата.
116. Шесть четырехугольников
В фигуре, представленной на рис. 112, нужно так переложить 6 спичек с одного места на другое, чтобы образовалась фигура, составленная из 6 одинаковых четырехугольников.
Рис. 112.
117. Из дюжины спичек
Из 12 спичек нужно составить фигуру, в которой было бы три одинаковых четырехугольника и два одинаковых треугольника.
Как это сделать?
118. Из полутора дюжин
Из 18 спичек нужно сложить два четырехугольника так, чтобы площадь одного была втрое больше площади другого. Спички, как и во всех предыдущих задачах, переламывать нельзя. Оба четырехугольника должны лежать обособленно, не примыкая друг к другу.
119. Два пятиугольника
Если вам удалось решить предыдущую задачу, попытайтесь решить такую головоломку.
Из 18 спичек сложить два пятиугольника так, чтобы площадь одного была ровно втрое больше площади другого. Остальные условия те же, что и в предыдущей задаче.
120. Из 19 и из 12
На рис. 113 вы видите, как можно 19 целыми спичками ограничить шесть одинаковых участков.
А можно ли ограничить шесть одинаковых участков — хотя бы и иной формы — 12 целыми спичками?
Рис. 113.
Решения задач 111-120
111. Решение этой задачи из рис. 114.
Рис. 114.
112 —115. Решение задачи 112 показано на рис. 115. задачи 113 на рис. 116 и 117, задачи 114 — на рис. 118, задачи 115 — на рис. 119.
Рис. 115.
Рис. 116.
Рис. 117.
Рис. 118.
Рис. 119.
116. Смотри на рис. 120.
Рис. 120.
117. Решение задачи 117 показано на рис. 121. Это равносторонний шестиугольник (но не правильный, поскольку его углы не равны).
Рис. 121.
118. Решение этой задачи показано на рис. 122. Площадь верхней фигуры образуют два квадрата, каждый со сторонами в одну спичку. Нижний четырехугольник представляет собой параллелограмм, высота которого АВ = 11/2 спички. Площадь параллелограмма по правилам геометрии равна его основанию, умноженному на высоте: 4 × 11/2 = 6, т. е. втрое больше площади верхнего четырехугольника.
Рис. 122.
119 —120. Решения задач 119 и 120 наглядно показаны на рис. 123 и 124.
Рис. 123.
Рис. 124.
Вес и взвешивание
121. Вес бревна
Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весит бревно, если оно вдвое толще, но вдвое короче нашего?
122. Десятичные весы
Сто килограммов железных гвоздей уравновешены на десятичных весах железными гирями. Весы затопило водой.
Сохранили ли они равновесие под водой?
123. Вес бутылки
Бутылка, наполненная керосином, весит 1000 г. Та же бутылка, наполненная кислотой, весит 1600 г. Кислота вдвое тяжелее керосина.
Сколько весит бутылка?
124. Брусок мыла
На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую — 3/4 такого же бруска и гиря в 3/4 килограмма. Весы в равновесии.
Сколько весит целый брусок мыла? Постарайтесь решить эту несложную задачу устно, без карандаша и бумаги.
Рис. 125. Сколько весит брусок мыла?
125. Кошки и котята
Четыре кошки и 3 котенка весят 15 кг, а 3 кошки и 4 котенка весят 13 кг.
Сколько весит каждая кошка и каждый котенок в отдельности?
Постарайтесь и эту задачу решить устно.
Рис. 126.
126. Раковина и бусины
Три детских кубика и 1 раковина уравновешиваются 12 бусинами (рис. 127), 1 раковина весит столько же, сколько 1 кубик и 8 бусинок (рис. 128).
Рис. 127.
Рис. 128.
Сколько бусин нужно положить на свободную чашку весов, чтобы уравновесить раковину на другой чашке?
127. Вес фруктов
Вот еще задача в этом роде. Рис. 129 показывает, что 3 яблочка и 1 груша весят столько же, сколько 10 персиков, а 6 персиков и 1 яблочко — столько же, сколько 1 груша.
Рис. 129.
Сколько персиков надо взять, чтобы уравновесить одну грушу?
128. Сколько стаканов?
На рис. 130 и 131 вы видите, что:
— бутылка и стакан уравновешиваются кувшином;
— бутылка сама по себе уравновешивается стаканом и блюдцем;
— два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами. Сколько надо поставить стаканов на свободную чашку весов, чтобы уравновесить бутылку?
Рис. 130. Задача о стаканах и бутылке.
Рис. 131. Чем уравновесить бутылку?
129. Гирей и молотом
Надо развесить 2 кг сахарного песку на 200-граммовые пакеты. Имеется только одна 500-граммовая гиря, да еще молоток, весящий 900 г.
Как получить все 10 пакетов, пользуясь этой гирей и молотком?
Рис. 132. Затруднение при развешивании.
130. Задача Архимеда
Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.
Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро — 10-ю.
Если вы желаете испытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10, а всего 91/4 кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец был изготовлен из сплошного металла, без пустот.
Решения задач 121-130
121. Обычно отвечают, что бревно вдвое более толстое, но вдвое более короткое, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо; от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в два раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т. е. весить 60 кг.
122. При погружении в воду железная вещь (сплошная) теряет 8-ю долю своего веса[12]. Поэтому и гири, и гвозди под водой будут иметь 7/8 своего прежнего веса. И так как гири в 10 раз легче гвоздей, то и под водой они будут легче их в 10 раз. Следовательно, десятичные весы останутся и под водой в равновесии.