Сложность интеграла зависит от формы кривой, ограничивающей площадь. Абелевы интегралы относятся к очень сложным кривым и в порядке возрастания сложности имеют несколько рангов - первый, второй, третий и т. д. Решить интегралы Абеля - значит упростить их, найти приемлемые формулы.
Задачей упрощения абелевых интегралов второго ранга занимался профессор Кенигсбергер, у которого училась Ковалевская. Софья Васильевна упростила еще более сложные интегралы - третьего ранга.
Свою третью работу Ковалевская посвятила форме кольца Сатурна.
Сатурн, единственная в солнечной системе планета, опоясанная кольцом, которое имеет вид тора (баранки). Но каково поперечное сечение кольца? Французский математик и астроном Лаплас в своем труде "Небесная механика" предположил, что кольцо Сатурна состоит из нескольких тонких, не влияющих одно на другое жидких колец, и определил его поперечное сечение как эллипс.
Ковалевская нашла более точное решение этой задачи. Она определила, что поперечное сечение кольца Сатурна, чтобы оказаться в установившемся равновесии, должно было в жидком состоянии принять яйцеобразную форму, то есть форму овала, симметричного только одной прямой. Эта работа Ковалевской была опубликована в немецком астрономическом журнале, затем подробно изложена французским астрономом Тиссераном в курсе небесной механики, а основной результат, касающийся поведения жидкой массы, включен в курс гидродинамики Ламба.
В 1873 году Софья Васильевна была вынуждена прервать занятия с Вейерштрассом и уехать в Швейцарию. Настолько плохо было ее здоровье. Сказались непосильная работа и до сих пор неустановившиеся отношения с мужем. Врачи ей настоятельно рекомендовали пожить в местности с мягким климатом, и Софья Васильевна выбрала Цюрих. Там жила Анна с мужем, и туда же собирались родители.
Двусмысленность положения чрезвычайно тяготила Софью Васильевну. Приехавшие в Цюрих родители своими хотя и деликатными вопросами о ее семейных делах еще больше осложняли ей жизнь.
"…Я положительно не намерена кормить их баснями, - писала Ковалевская мужу, - мне и без того в разговорах с ними постоянно приходится краснеть, когда разговор коснется какой-нибудь из множества басен, которые мы им совсем ненужным образом наврали". Софья Васильевна приглашала мужа приехать и вместе разобраться в их отношениях.
Владимир Онуфриевич пообещал, но приехать не смог: был очень занят.
Пока Ковалевская создавала свои блестящие математические работы, Владимир Онуфриевич тоже самозабвенно трудился, его ум, мысли и сердце захватила палеонтология.
Выбрав палеонтологию позвоночных, он с увлечением занялся ею: "Только тут мы можем сделать что-нибудь разумное… все это даст и даже отчасти дает нам разумная палеонтология, и мне кажется, это поле - очень благодарное для будущего пятидесятилетия", - писал он брату.
Владимир Онуфриевич уехал в Вену, чтобы получить там диплом доктора. Действительно, его работа была признана важнейшей палеонтологической работой последних двадцати пяти лет и получила заслуженную известность.
В 1872 году Йенский университет выдал Ковалевскому докторский диплом. Казалось, все идет хорошо, Ковалевский собирался работать в России, но на родине его подстерегала неожиданная неудача.
Незадолго до поездки в Россию он отрицательно отозвался о работе некоего И. Ф. Синцова, а обстоятельства сложились таким образом, что сдавать магистерский экзамен в России, без которого Ковалевский не мог быть допущен к работе, ему пришлось у того же Синцова, который не простил обиды и провалил его на экзамене по геологии и палеонтологии. Совершенно обескураженный неудачей, Владимир Онуфриевич снова поехал за границу. Венские и мюнхенские профессора приняли у него экзамены по палеонтологии и геологии и дали самые высшие оценки. Но на врагов ученого это не произвело никакого впечатления. Тогда Ковалевский напечатал "Заметку о моем магистерском экзамене" и опубликовал лестные отзывы принимавших у него экзамены профессоров. О многих его злоключениях Софья Васильевна не подозревала и удивлялась, почему муж не может оторваться от своих дел и повидаться с ней. И она писала ему письма, полные упреков. Владимир Онуфриевич не знал, что ему делать, - он чувствовал, что они с Софьей Васильевной разные люди, но в то же время он любил ее и готов был делать все, чтобы облегчить ей жизнь. Поэтому он и не посвящал жену в свои невеселые и сложные дела.
Ковалевский даже написал ей иносказательное письмо, что согласен дать развод, взяв на себя всю вину. Однако Софья Васильевна не приняла этой жертвы.
"…если я когда-нибудь верну себе мою свободу, о которой, впрочем, менее сокрушаюсь, чем вы думаете, то это будет моими собственными силами и притом главным образом с целью вернуть вам вашу…" - немедленно ответила она.
Постепенно их письма начали делаться все более теплыми и дружескими. Они снова стали поверять друг другу свои радости и неудачи, делиться результатами своей работы, и у обоих крепло убеждение, что им надо быть вместе.
Настроение у Софьи Васильевны резко изменилось, она стала веселой, общительной; волнения и тревоги покинули ее. Она с удовольствием встречалась с новыми людьми и много времени проводила с учеником Вейерштрасса математиком Германом Амандусом Шварцем, который преподавал в Цюрихском политехникуме. Незадолго до приезда Софьи Васильевны Вейерштрасс прислал ему свои лекции по теории абелевых функций, записанные Ковалевской. Узнав, что она приехала в Цюрих, Шварц пожелал немедленно встретиться с замечательной женщиной-математиком. Знакомство состоялось, они подолгу беседовали, и оказалось, что у них одинаковые планы будущих работ. Софья Васильевна впервые встретила человека с одинаковыми научными устремлениями. Имея такого друга, можно сделать в науке бесконечно много, и ей не захотелось возвращаться в Берлин к Вейерштрассу. Но чувство долга не позволяло изменить старому учителю.
В это время Вейерштрасса назначили ректором Берлинского университета, и Ковалевская обрадовалась удобному предлогу: многочисленные обязанности ректора, вероятно, не оставят профессору времени для частных занятий.
Будто угадав ее колебания, Вейерштрасс написал: "Если говорить совершенно серьезно, то, милая и дорогая Софа, будь уверена, что именно моей ученице я обязан тем, что обладаю не только моим лучшим, а единственным действительным другом. Поэтому, если ты и в будущем сохранишь то же отношение ко мне, которое проявляла до сих пор, то ты можешь быть твердо уверена, что я всегда буду преданно поддерживать тебя в твоих научных стремлениях".
После такого письма Ковалевская не решилась оставить этого благородного, одинокого человека, хотя она уже освоила его идеи, идеи Шварца привлекали ее своей новизной. Чувство долга взяло верх: "Я чувствую, что предназначена служить истине-науке и прокладывать новый путь женщинам, потому что это значит служить справедливости. Я очень рада, что родилась женщиной, так как это дает мне возможность одновременно служить истине и справедливости".
Так в свои двадцать три года Софья Васильевна определила свой жизненный путь - наука и справедливость.
Ковалевской надо было возвращаться в Берлин. Предстояла решающая битва - получение докторского диплома. Но ей хотелось вернуться туда вместе с мужем. Они встретились, произошло наконец решительное объяснение и примирение: фиктивный брак превратился в брак по велению сердца. Через несколько дней супруги вместе выехали в Берлин.
Вопрос о докторском дипломе для своей любимой ученицы беспокоил и Вейерштрасса. Где защищать ей диссертацию? В Берлине это было невозможно. Да и в каком другом университете его маститые коллеги, возмущенные тем, что женщина вздумала посягать на святая святых, не провалят его ученицу? И все-таки он нашел выход. По немецким законам иностранец мог получить степень без личной защиты диссертации. Достаточно было представить свои работы.
Вейерштрасс написал в Геттингенский университет, что считает справедливым, если Ковалевской присвоят степень без личной защиты, так как претендентка представляет собой ярчайший математический талант. В ответ университет выразил сомнение: нужно ли присуждать степень, если Ковалевская не работает в этой области и, видимо, не собирается работать в дальнейшем. Тогда Софья Васильевна, отправив в университет все документы, обязательную автобиографию на латинском языке, приложила к ним объяснение.
"Милостивый государь!
Позвольте мне прибавить еще несколько слов к присланному мной в ваш факультет прошению о присуждении мне звания доктора философии.