Приложение
В дифференциальной геометрии 1-форма определяется как линейная вещественная функция векторов, то есть является линейным оператором, "машиной", на вход которой подаются векторы, а на выходе получаются числа. Простейшей 1-формой является градиент df функции f (обозначение d или grad обычно используют применительно к скалярным величинам, а Ñ (читай: "набла") - к векторам или тензорам). Внешняя производная, или градиент, является более строгой формой понятия "дифференциал". В отличие от дифференциала df, который выражает изменение f в некотором произвольном направлении, градиент характеризует изменение функции в определенном направлении, заданном бесконечно малым вектором смещения v. Если быть более точным, градиент df представляет собой совокупность поверхностей уровня f = const и характеризует их "близость" друг к другу, плотность "упаковки" в элементарном объеме в направлении v, с точностью до приближения их плоскостями и размещения через равные промежутки (вследствие линейности оператора). Результатом пересечения df вектором смещения v является число ádf, vñ = ∂v f. Это выражение определяет связь между градиентом df и производной по направлению ∂v f. Введя вектор v в линейную машину df, на выходе мы получаем ∂v f - число пересеченных плоскостей при прохождении v через df, число, которое при достаточно малом v равно приращению f между основанием и острием вектора v.
Задание 1-формы в данной точке (связь с точечным описанием) для некоторого геометрического объекта, описывающего физическую величину, например, для тензора произвольного ранга (0-ранг - скаляр, 1-ранг - вектор или 1-форма, 2-ранг - тензор второго ранга и т. д.), предполагает выполнение трех основных операций. Это, прежде всего, задание вектора смещения, в направлении которого данный объект меняется от точки к точке. Во-вторых: моделирование исходного объекта в окрестностях каждой точки в виде плоских поверхностей уровня, расположенных на одинаковых расстояниях. И наконец, подсчет числа пересечений этих плоскостей вектором смещения. Поскольку образование 1-формы (градиента) от произвольного тензора предполагает одновременное задание вектора смещения, появляется дополнительный входной канал, и ранг исходного тензора увеличивается на единицу.
Таким образом, дифференциальная геометрия дает более строгое определение градиента в качестве 1-формы, в отличие от обычных представлений градиента как вектора. Градиент, который нам более знаком, - это всего лишь вектор, поставленный в соответствие 1-форме градиента с помощью уравнения (которое уже приводилось) 
f · v = ádf, vñ, где слева стоит скалярное произведение двух векторов, и f - градиент в виде вектора.
Дифференциальная геометрия расширяет также понятие тензора. Если обычно под тензором понимается линейный оператор с входными каналами для векторов и выходными данными либо в виде вещественных чисел, либо в виде векторов, то теперь во входной канал может подаваться не только вектор, но и 1-форма.
В качестве примера рассмотрим координатное представление тензора второго ранга. В отличие от обычного вектора, который может быть разложен лишь в одном произвольном базисе из ортонормированных векторов (поэтому его можно считать тензором первого ранга), тензор второго ранга разлагается на компоненты в двух базисах. В качестве любого из этих базисов (или обоих сразу) могут служить либо наборы из обычных базисных векторов eα, либо совокупность так называемых базисных 1-форм w = dx. Базисные 1-формы - это координатные поверхности x = const. Следовательно, базисный вектор eα пересекает только одну поверхность базисной 1-формы w (перпендикулярную eα).
Точно так же, как произвольный вектор можно разложить по базису eα, v = νeα, произвольную 1-форму можно разложить по базису w, σ = σβw. Коэффициенты ν и σβ называются компонентами вектора v и 1-формы s в базисе eαи w соответственно.
Вводя в некоторый тензор второго ранга S произвольные вектор v и 1-форму σ и, зная компоненты их разложения в своих базисах, через них можно выразить компоненты самого тензора S(v, σ) = S(eα, w) vσβ = Sαvσβ.
Словарь терминов
Вектор состояния - полное описание замкнутой системы в выбранном базисе. Задается лучом гильбертова пространства.
Волновая функция (волновой вектор) - частный случай вектора состояния, одно из координатных его представлений, когда в качестве базиса выбираются пространственно-временные координаты.
Гильбертово пространство (пространство состояний) - совокупность всех потенциально возможных состояний системы.
Декогеренция- физический процесс, при котором нарушается нелокальность и уменьшается квантовая запутанность между составными частями системы в результате ее взаимодействия с окружением. При этом подсистемы "проявляются" из нелокального состояния в виде отдельных самостоятельных элементов реальности, они обосабливаются, отделяются друг от друга, приобретая видимые локальные формы.
Запутанность - см. несепарабельность.
Интерференция - одно из наиболее широко известных проявлений суперпозиции состояний (например, в оптике). Интерференцией света в тонких пленках объясняется, например, радужная окраска мыльных пузырей и масляных пленок. Интерференция имеет место только для когерентных состояний. Декогеренцию (нарушение когерентности) в этом случае можно рассматривать как подавление интерференции. Каждая частица (например, фотон) интерферирует лишь сама с собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит, точнее, реализовать эту ситуацию на практике (экспериментально) очень сложно.
Квантовая система - это словосочетание указывает не на размер системы (микроуровень), а на способ описания: на то, что система описывается методами квантовой теории в терминах состояний.
Квантовая теория - это описание любой системы в терминах состояний, независимо от того, велика система или мала. Такое описание является на данный момент наиболее полным из всех других известных описаний физической реальности, поэтому выводы, полученные квантовой теорией, имеют фундаментальное значение и формируют современную концепцию естествознания в целом.
Квантовый ореол (квантовое гало) - "тонкоматериальное" квантовое окружение, обволакивающее любые материальные тела. Квантовый ореол не имеет классического аналога, то есть он не может быть объяснен в рамках классической физики, и его наличие невозможно зафиксировать классическими приборами и нашими обычными органами восприятия.В квантовой физике существует большое и относительно самостоятельное направление, изучающее эти структуры (см. например, обзорную статью: Jensen A. S., RiisagerK. and FedorovD. V. Structure and reactions of quantum halos, Rev. Mod. Phys. 76, 215 2004).
Когерентные состояния (когерентная суперпозиция) - суперпозиция чистых состояний, то есть "наложение друг на друга" отдельных состояний, в которых может находиться замкнутая система. Когерентность означает согласованность поведения отдельных составных частей системы посредством нелокальных корреляций между ними.
Кубит (квантовый бит) - единица квантовой информации. В отличие от бита (единицы классической информации), который принимает только два возможных значения (0 и 1), квантовый бит может находиться в суперпозиции этих состояний.
Матрица плотности - матрица (таблица элементов), при помощи которой можно описывать как чистые состояния (замкнутые системы), так и смешанные, то есть открытые системы, взаимодействующие со своим окружением.