то есть i-компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или i-компоненту объемной плотности градиента энергии.Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент энергии в этом объеме.
Итак, основной вывод можно сформулировать следующим образом: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, то есть
F = ÑW. (5.12)
На первый взгляд, мы получили самый обычный второй закон Ньютона, ничего нового, как может показаться, здесь нет, и непонятно, зачем вообще надо было применять сложный математический аппарат дифференциальной геометрии. Но это впечатление обманчиво. Основная особенность такой формы записи, а одновременно и преимущество используемого подхода в том, что это уравнение, трактуемое в терминах дифференциальных форм, - общековариантно. Оно не зависит от систем отсчета (это справедливо и для обычного понятия градиента). Более того, для градиента, понимаемого как 1-дифференциальная форма, вид этого уравнения не зависит от размерности пространства, от его метрики, и справедливо оно даже при полном ее отсутствии (дифференциальная топология). Таким образом, это уравнение продолжает работать и в том случае, когда, например, объект перешел в чистое запутанное состояние, то есть стал нелокальным, и нет возможности ввести его координатное представление. Это уравнение обобщает второй закон Ньютона и может служить его аналогом для "тонких" структур, оно работает не только в плотном материальном мире, но и на любых квантовых уровнях реальности.
Итак, можно сделать вывод, что одной из основных физических характеристик объекта является плотность градиента энергии в его объеме.
Трактовка пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах градиента энергии и традиционное описание в терминах потока импульса эквивалентны. Каждое из них обладает своим преимуществом в зависимости от ситуации. Импульсное представление более удобно, когда система моделируется в виде совокупности материальных точек с сосредоточенными параметрами. Преимущества энергетического представления тензора энергии-импульса проявляются в тех случаях, когда рассматриваемая система описывается непрерывными физическими величинами, или когда отдельный объект нельзя рассматривать в виде материальной точки, и необходимо учитывать пространственное распределение физических величин, характеризующих данный объект. Нас прежде всего интересует вторая ситуация.
В этом случае непосредственно из уравнения (5.12) последовательно вытекает ряд очевидных следствий. Кратко можно обозначить лишь некоторые, наиболее существенные из них.
1. Свободный объект (при отсутствии внешних воздействий) может находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно только при нулевом значении градиента энергии во всем объеме рассматриваемого объекта.
2. Из линейности тензора энергии-импульса (как линейного оператора) следует, что любая внешняя сила, действующая на объект, характеризуется соответствующим ей градиентом энергии внутри тела, то есть произвольный объект (как свободный, так и находящийся под внешним воздействием), двигающийся с ускорением, имеет в своем объеме соответствующий этому ускорению градиент энергии.
3. Ускорение тела есть процесс перехода в состояние с равновесным распределением энергии, "выравнивание" градиента энергии в своем объеме за счет ускоренного движения. Во внешнем градиентном поле объект всегда будет двигаться с ускорением.
4. Из уравнения (5.12) и последующих рассуждений следует разумное объяснение физической природы гравитации. Для этого достаточно лишь отказаться от моделирования физических тел в виде материальных точек, как это принято в механике Ньютона и общей теории относительности, и учесть распределение энергии в объеме реального объекта. Если исходить из определения равновесного состояния свободного тела, силы тяготения естественным образом объясняются нарушением равновесного распределения энергии и возникновением градиента энергии у каждого из тяготеющих тел в результате взаимодействия их энергетических составляющих. С этой точки зрения гравитационное поле объекта характеризуется градиентом среднего значения энергий различных физических полей в системе, и нет смысла искать, например, кванты гравитационного поля. Для тел, моделируемых материальными точками, такое объяснение гравитации уже неприменимо.
5. С предыдущим вопросом тесно связан вопрос об инертности тела и силах инерции. Дополняя определение равновесного состояния тела принятым в статистической физике понятием релаксации системы, инертность тела можно сопоставить с процессом возникновения или релаксации градиентов энергии при нарушении равновесного состояния системы. Силы инерции, согласно общему выражению (5.12), можно определить как градиенты энергии, связанные с неинерциальными системами отсчета. Таким образом решается вопрос об эквивалентности сил инерции и тяготения. Они неотличимы друг от друга, так как в их основе лежит одна и та же физическая природа - градиент энергии в объеме тела.
6. Исходя из общего характера уравнения (5.12), можно сформулировать и более сильное утверждение: любая физическая сила в природе обусловлена наличием градиента энергии в рассматриваемой системе.
7. Уравнение (5.12) способно стать теоретической основой, позволяющей с единых позиций рассмотреть все многообразие процессов и явлений, изучаемых в различных разделах физики и других естественных науках. Открывается возможность взаимной интеграции многочисленных теорий и получения новых количественных соотношений, связывающих эти процессы.
Например, к понятию электрического заряда можно подойти с точки зрения нарушения равновесного состояния системы. Отрицательный заряд при этом соответствует избытку энергии, а положительный - недостатку. Это позволяет в едином ключе рассматривать электродинамические и механические процессы.
Первые пять следствий сформулированы для объекта, рассматриваемого как единое целое. Однако уравнение (5.12) справедливо для произвольно выделенного объема внутри системы, и на его основе можно описывать движение ее составных частей относительно друг друга.
5.4. Понятие градиента
Рассмотрим чуть более подробно понятие градиента. В общем случае градиент вводится как векторная характеристика скалярного поля - то есть области, каждой точке которой соответствует значение определенного скаляра. Напомню, что энергия - это скалярная величина. Градиент характеризует, насколько быстро меняется скалярная величина в том или ином месте этого поля.
Наглядно это выглядит так: в данном поле проводятся линии уровня, и густота этих линий дает представление о величине градиента энергии. Направление градиента есть направление наиболее быстрого увеличения скалярной величины в данной точке (по нормали к линии уровня).
По определению, градиент скаляра- это вектор, численно равный производной по нормали к поверхности уровня в данной точке скалярного поля и направленный по этой нормали в сторону возрастания скалярной величины.
Можно сказать, что градиент - это скорость изменения физической величины, но изменения не во времени, а в пространственном направлении. В некоторых определениях так и говорится: "…вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения потенциала относительно координат".
Величина градиента (его численное значение) - это не просто скорость изменения скаляра, а максимальная скорость в этой точке (по нормали). Например, по касательной к линии уровня скалярная величина в данной точке совсем не меняется (на линии уровня значение скалярной величины одно и то же). А в разных точках, где больше градиент, быстрее меняется скаляр (линии уровня сгущаются).
В качестве примера можно взять электрическое поле и показать, что такое градиент энергии в этом случае.
Исходить я буду из разности потенциалов. Для начала приведу некоторые определения из книги И. Е. Тамма "Основы теории электричества".
Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую.
∆ф = ф2-ф1 = -А.
В свою очередь, работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезок ∆s (это вектор), равна:
А = Е∆s,
где Е - вектор напряженности электрического поля, по определению, это сила, действующая на единичный положительный заряд. Следовательно, сила, действующая на некоторый (уже не единичный) заряде, будет равна: F = еЕ.
Из двух предыдущих выражений получаем:
∆ф = -А = -Е∆s.
Или, для бесконечно близких точек:
dф = -Еds.
Отсюда, по определению градиента:
Е= -Ñф.
Таким образом, напряженность электростатического поля Е равна градиенту потенциала ф, взятому с обратным знаком.