Посмотрим, что может дать такое представление импульса. Возьмем произвольный 4-вектор v. Он пересечет определенное число поверхностей целой фазы. Обозначим это число пересечений посредством выражения á
,vñ. Как правило, начало и конец вектора v не лежат на поверхностях целочисленных фаз. Чтобы определить более точное значение числа пересечений (перейти от целого числа к вещественному), необходимо в этих позициях между соседними поверхностями целой фазы распределить бесконечное число поверхностей со всеми промежуточными значениями фазы. Далее, чтобы понятие 1-формы стало рабочим инструментом, нужно сделать еще один небольшой шаг. Необходимо трактовать 1-форму не как глобальную конфигурацию поверхностей уровня, а как некоторую аппроксимацию этих поверхностей в элементарном, бесконечно малом объеме в виде плоских поверхностей, расположенных на равных расстояниях друг от друга (линейное приближение). Плоские поверхности 1-формы в этом малом объеме дадут наилучшую линейную аппроксимацию искривленных поверхностей уровня, а сама 1-форма становится линейной функцией, и появляется возможность оперировать ею, как и любой другой функцией. Нетрудно убедиться, что совокупность всех 1-форм в данном событии (4-точке) образует векторное пространство в абстрактном, алгебраическом смысле этого понятия. Существует и взаимно однозначное соответствие между произвольным вектором n и соответствующей ему 1-формой ñ в виде áñ,vñ = n · v, то есть число пересеченных поверхностей произвольным вектором v у некоторой 1-формы ñ равно проекции вектора v на вектор n (точка обозначает скалярное произведение).
Таким образом, дифференциальная геометрия дает исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить взаимнооднозначное соответствие между локальным точечным описанием физических величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит, учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим объектом (небольшое дополнение см. в Приложении).
Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно которой он находится в покое. Тогда 1-форма объема с 4-скоростью u и ребром L определяется как Σ = -Vu = Ldt в случае стандартной положительной ориентации u в прошлое (u = -dt) или в другом варианте Σ = LΔtdx. По своему геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем, "заметаемый" со временем либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет движения одной из его граней, например, площадки Syz = L в направлении x со скоростью u (второй вариант).
1-форма произвольного объема может быть проанализирована путем разбиения ее на введенные элементарные объемы.
Теперь мы располагаем уже всеми необходимыми понятиями, чтобы сформулировать определение тензора энергии-импульса в терминах дифференциальных форм: тензором энергии-импульса называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится 1-форма объема Σ, а в другой - произвольный вектор w или 1-форма σ, и в результате получается проекция 4-импульса на этот вектор или 1-форму соответственно, то есть
T(w, Σ) = w · p, T(σ, Σ) = áσ, pñ. (5.6)
Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса p на 4-вектор скорости наблюдателя u дает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W = -u · p.
Пространственные компоненты T из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Δt эта поверхность "заметает" 3-объем, 1-форма которого равна Σ = L┴k Δtdx. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей лоренцевой системе, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За время Δt он сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Δp, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.
Обозначим компоненты скорости наблюдателя через u = (Δx/Δt)ei. Тогда компоненты T можно определить из (5.6):
u· Δp = -ΔW = T(u, Σ), (5.7)
или в компонентных обозначениях,
-ΔW = (Δx/Δt) L┴kΔt T(ei, dx) = ΔxL┴kT, (5.8)
. (5.9)
Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим
-ÑiW/L┴k = T. (5.10)
Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии ÑiW уже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя Δx входит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь - либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m0c, как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений - значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.
Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса, нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество ÑiW ≡ -Δpi/Δt, связывающее энергетическое и импульсное представления компонент тензора энергии-импульса.
Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5). Устремляя исходный 3-объем к нулю и имея при этом L┴k→ ∂S┴k, получим
, (5.11)