Совокупности и соответствие
Вернемся к овцам. Как мы, будучи взрослыми или детьми, запоминаем и сообщаем другим свой подсчет того, сколько овец ушли с нашего выгона? Мы могли бы поискать камешки на земле, чтобы представлять ими число, которое мы хотим сообщить. Когда овца выходит за ворота, мы могли бы брать камешек и откладывать его в сторону, чтобы помогать себе запоминать. Когда выходит еще одна овца, мы можем откладывать второй камешек. В конце концов, у нас будет кучка из пяти камешков. Ребенок тоже мог бы использовать камешки, но у него, скорее всего, получилось бы две кучки - из трех камешков для черных овец, и из двух камешков для коричневых.
В каком-то смысле, кучки камешков выглядят простыми, и являются таковыми. Но что мы на самом деле делали, собирая кучки из камешков, чтобы представлять ими овец, вышедших на пастбище?
Разделимость. Во-первых, мы допускали, что овцы представляют собой совокупность - группу, которую можно считать.
Слово "совокупность" происходит от греческого термина, означающего "собираться в стадо". Совокупность - это группа сходных вещей, которые остаются в достаточной степени отдельными, чтобы их можно было считать. Камни представляют собой типичную совокупность. Каждый из них является отдельным, и обладает собственной индивидуальностью.
Психология. Затем, мы допускали, что совокупность или группу овец, которую мы воспринимаем, нуждается в подсчете. Теперь мы знаем, что на выбор того, что мы воспринимаем, влияют возраст, культура, и личная психология.
Таким образом, в процессе счета мы не только допускаем, что вещи, которые мы считаем, могут быть разделены друг от друга, но и выбираем, на каких категориях сосредоточиваться. По большей части, счет, по самой своей природе, предполагает допущение и выбор, хотя мы этого даже не осознаем. В выборе того, что мы считаем, важную роль играют культура и психология.
Стандартизация. Считая овец, мы делали и третье допущение. Мы допускали, что можем использовать стандартную совокупность или группу, а именно, камешки, для измерения другой совокупности - овец. То, какую стандартную совокупность мы используем, зависит от того, кто мы, и кому мы хотим сообщить, сколько у нас овец. Мы можем использовать палочки, камешки, пальцы, или другие объекты. Наш окончательный выбор стандартных совокупностей или знаков будет кое-что говорить о коллективной природе нашего сообщества.
Сопоставление. Кроме того, используя любую стандартную совокупность, мы допускаем, что можем использовать стандартную совокупность в качестве знака, представляющего другую совокупность. То есть, мы можем использовать, скажем, пальцы, чтобы представлять совокупность овец. Мы сопоставляем одну совокупность - овец, выходящих на пастбище - другой совокупности - пальцам или камешкам. Мы должны помнить, что хотя камешки представляют овец, они очень отличаются от них.
Итак, считая овец, мы допускали, что они разделимы на части. Затем мы допускали, что части, которые мы выбираем - это важные части, что они образуют совокупность. Затем мы допускали, что можем использовать стандартную совокупность - камешки - для того, чтобы представлять овец, и, наконец, что мы можем сопоставлять камешек каждой овце, выходящей на пастбище.
Всякий раз, считая что-либо - будь то овцы, атомы, или звезды - мы допускаем, что они разделимы, не зависят от нашей психологии, и что они могут быть стандартизированы и представлены чем-либо другим. Думая об этих допущениях, мы понимаем, что они не всегда верны, что наши допущения - это только приближения. Они верны лишь частично.
Таким образом, то, что мы учитываем, в некотором смысле, всегда бывает приближением к тому, что мы считаем.
Развитие числовых систем
Подумаем о стандартизации. Какой стандарт правильный? Кто выбирает правильный стандарт? Наши предки - охотники и собиратели, жившие на заре человеческой истории - вероятно, поначалу считали как наш скотовод. Им был нужен какой-то метод для того, чтобы запоминать своих овец и сообщать их число своим соседям, и потому они разрабатывали процедуры стандартизации. Поскольку было неудобно таскать с собой множество камешков, со временем, люди начали разрабатывать менее обременительные способы запоминания, наподобие нанесения зарубок на палочку, использования пальцев, или изобретениясчетных устройств типа китайского абака.
Какие способы счета и запоминания вы бы использовали, если бы устали от применения камешков и хотели делиться своей информацией с другими людьми? Зарубки на палочке хороши, но ваши руки, ноги, и пальцы более удобны и чем камешки, и чем палочки. Вы могли бы даже использовать в качестве стандартной совокупности суставы на своих пальцах либо свои конечности.
Какие конечности, суставы или пальцы вы бы использовали? Вы могли бы использовать свою голову и две руки, чтобы считать до 3, пальцы - чтобы считать от 1 до 10, пальцы на руках и на ногах, чтобы считать до 20, и суставы на пальцах рук и ног для больших чисел. Именно так делали наши предки, о чем сегодня можно судить по названию "цифра" (digit), которое означает "однозначное целое число" и происходит от латинского слова "палец". Сегодня английское слово "digit" означает "цифра", но также палец руки или ноги. Иными словами, некоторые из наших основных стандартных совокупностей или систем счета основаны на человеческом теле.
Когда мы считаем, мы также игнорируем
Далее рассматриваются некоторые из элементов, которые мы игнорируем или опускаем при счете.
Групповое разнообразие. Выбирая определенную совокупность в качестве "группы овец", мы маргинализируем значение других возможных групп, например, черных и коричневых овец, в составе выбранной совокупности.
Индивидуальное разнообразие. Решая считать каждую овцу в данной группе, мы маргинализируем различия между отдельными овцами в любой группе, то есть, игнорируем индивидуальные различия, как второстепенные. Например, утверждение, что все граждане США - "американцы" верно, но помните, что совокупность "американцы" игнорирует разнообразие стран Американского континента - таких, как Мексика, Бразилия, Чили, Канада, и т. д. Кроме того, маргинализируются отдельные субкультуры, живущие в США. И даже если мы соглашаемся считать всех людей во всех различных субкультурах во всех странах обоих Америк "американцами", мы все равно игнорируем отдельных людей в любой данной субкультуре, поскольку допускаем, что все они одинаковы.
Опыт процесса. Используя такие стандарты, как камешки или пальцы, мы забываем, что имеем дело с овцами. Мы говорим "пять (овец) вышли (на пастбище)", но больше не имеем никакого ощущения процесса, связанного с выходом каждой отдельной овцы - скорости, с которой они двигались, или чувства, которое мы к ним испытывали как к индивидуальным, потенциально чувствующим существам. Число "5" не передает ни одного из этих опытных измерений.
Неантропоидная тождественность. Антропоидный означает "человекоподобный". Используя тело в качестве стандарта, мы можем представлять пять овец знаком пяти пальцев. Теперь пять овец соответствую аспектам человеческого тела. Теперь знак пяти пальцев отождествляет овец с нашей человеческой анатомией или формой.
Оказывается, что десятичная система счета сегодня является наиболее универсальной числовой системой. Используя эту и другие системы, связанные с человеческим телом (например, основанные на счете до 3 или до 20), мы непреднамеренно допускаем, что человеческая форма - это стандартное мирило мира. Мы можем забывать, что используем самих себя для измерения мира; тем не менее, у нас имеются бессознательные антропоморфные допущения - то есть, мы допускаем, что мир можно представлять в терминах нас самих, в терминах человеческих существ.
Цель этого обсуждения - подчеркнуть тот факт, что каждый раз, когда мы считаем, мы используем числа и забываем или обесцениваем многие аспекты "процесса овец". Считая, мы можем думать, что делаем нечто объективное, однако при этом игнорируем многие аспекты природы, в том числе, нашу собственную психологию.
Мораль этой истории состоит в том, что, используя числа, мы занимаемся процессом маргинализации, который игнорирует чувственные выборы, переживания, и человеческое отождествление с событиями. Математика связана с многими тонкими моментами осознания, которые мы забыли.
Все, что мы считаем, связано с нашей психологией. Политики и специалисты по рекламе - а, по существу, все люди - используют числа, которые акцентируют определенные части информации и полностью игнорируют другие. Числа - это не просто количества: они представляют психологию человека или группы, выполняющих вычисление!
То, что я только что сказал, казалось, очень расстроило одну из студенток в моем математическом классе. Она беспокойно ерзала на своем стуле, а затем выпалила: "Ясно, что мы потеряли в результате счета, но что мы приобрели?".
Единственный удовлетворивший ее ответ состоял в том, что, благодаря числам, мы приобрели способность использовать краткие символические обозначения, которые мы можем разделять с другими людьми. Когда мы хотим описать, сколько овец прошло через ворота на пастбище, и нас интересует только общее число того, что наша культура считает значимой совокупностью овец, нам нужно всего лишь поднять пять пальцев на одной из наших рук. Мы приобрели сокращенный метод общения.