4. 1272. Так, переменное имя "x" есть собственно знак псевдопонятия объект. Там, где всегда правильно употребляется слово "объект" ("предмет", "вещь" и т. д.), оно выражается в логической символике через переменные имена. Например, в предложении: "имеется два объекта, которые..." через ($x, y)..." Там же, где оно употребляется иначе, т. е. как собственно понятийное слово, возникают бессмысленные псевдопредложения. Так, например, нельзя сказать: "имеются объекты", как говорят "имеются книги". И также нельзя говорить: "имеется 100 объектов" или "имеется К объектов". И вообще бессмысленно говорить о количестве всех объектов. Это же относится и к словам "комплекс", "факт", "функция", "число" и так далее. Все они обозначают формальные понятия и изображаются в логической символике переменными, а не функциями или классами (как думали Фреге и Рассел). Такие выражения, как "1 есть число", "естьтолько один нуль", и все им подобные бессмысленны. (Говорить "есть только одна единица" так же бессмысленно, как было бы бессмысленно сказать: 2 + 2 в 3 часа равно 4.)
4. 12721. Формальное понятие уже дано с объектом, который подводится под него. Следовательно, нельзя вводить объекты формального понятия и само формальное понятие как исходные (die Grund begriffe) понятия. Следовательно, нельзя вводить в качестве исходных понятий, например, понятие функции. и одновременно конкретные функции (как делал Рассел) или понятие числа и одновременно определенные числа.
4. 1273. Если мы хотим выразить в логической символике общее предложение "b следует за а", то для этого мы употребляем выражение для общего члена формального ряда:
aRb, ($x): aRx. xRb, ($x, у): aRx xRy yRb, ...
Общий член формального ряда можно выразить только переменной, так как понятие: "член этого формального ряда" является формальным понятием. (Это просмотрели Фреге и Рассел; способ, каким они хотели выразить общие предложения, такие, как, например, вышеприведенные, был поэтому ложным; он содержал circulus vitiosus (порочный круг). Мы можем определить общий член формального ряда, давая его первый член и общую форму операции, которая образует последующий член из предыдущего предложения.
4. 1274. Вопрос о существовании формального понятия бессмыслен. Потому что ни одно предложение не может ответить на такой вопрос (например, нельзя спрашивать: "Есть ли неанализируемые" субъектно-предикатные предложения (Subjekt-Pradikatsatze)?
4. 128. Логические формы нечисленны. Поэтому в логике нет каких-либо привилегированных чисел и поэтому нет никакого философского монизма или дуализма и т. д.
4. 2. Смысл предложения есть его согласование или несогласование с возможностями существования и несуществования атомарных фактов.
4. 21. Простейшее предложение, элементарное предложение, утверждает существование атомарного факта.
4. 211. Признаком элементарного предложения является то, что ни одно элементарное предложение не может ему противоречить.
4. 22. Элементарное предложение состоит из имен. Оно есть связь, сцепление имен.
4. 221. Очевидно, что при анализе предложений мы должны доходить до элементарных предложений, которые состоят из непосредственной связи имен. Здесь встает вопрос: как возникает пропозициональная связь?
4. 2211. Даже если мир бесконечно сложен, так что каждый факт состоит из бесконечного числа атомарных фактов и каждый атомарный факт из бесконечного числа объектов, – даже тогда должны быть даны объекты и атомарные факты.
4. 23. Имя выступает в предложении только в контексте элементарного предложения.
4. 24. Имена суть простые символы; я обозначаю их отдельными буквами ("x", "y", "z"). Элементарное предложение я пишу как функцию имен в форме "fx", "Ф (х, у)" и т. д. Или я обозначаю его буквами р, q, r.
4. 241. Если я употребляю два знака с одним и тем же значением, то я выражаю это, ставя между ними знак "=". Следовательно, "о == &" означает: знак "а" заменим знаком "b". (Если я ввожу с помощью уравнения некоторый новый знак, определяя, что он должен заменить первоначальный известный знак "а", то я пишу уравнение – определение – (как Рассел) в форме "а =b Def. ". Определение есть символическое правило.)
4. 242. Следовательно, выражения формы "а = b" являются только средством изображения; они ничего не говорят о значениях знаков "а", "b".
4. 243. Можем ли мы понять два имени, не зная, обозначают ли они одну и ту же вещь или две различные вещи? Можем ли мы понять предложение, в которое входят эти два имени, . не зная, обозначают ли они одну и ту же или различные вещи? Если я, например, знаю значение английского и значение синонимичного ему немецкого слова, то я не смогу не знать, что они синонимы; невозможно, чтобы я не мог перевести их одно в другое. Выражение вида а == с или выведенные из них не являются ни элементарными предложениями, ни другими осмысленными знаками. (Это будет показано ниже.)
4. 25. Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.
4. 26. Указание всех истинных элементарных предложений полностью описывает мир. Мир полностью описывается указанием всех элементарных предложений вместе с указанием того, какие из них истинны, а какие ложны.
4. 27. Относительно существования и несуществования п атомарных фактов имеется возможностей. Могут существовать все комбинации атомарных фактов, и, кроме них, другие комбинации существовать не могут.
4. 28. Этим комбинациям соответствует такое же число возможностей истинности и ложности п элементарных предложений.
4. 3. Возможности истинности элементарных предложений означают возможности существования и несуществования атомарных фактов.
4. 31. Возможности истинности можно изобразить схемами следующего вида ("И" означает "истинно", "Л" – "ложно". Строчки значений "И" и "Л" под строчками элементарных предложений означают в легко понимаемой символике их возможности истинности).
4. 4. Предложение есть выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений.
4. 41. Возможности истинности элементарных предложений есть условия истинности и ложности предложений.
4. 411. С первого же взгляда кажется вероятным, что введение элементарных предложений является основополагающим для понимания всех других видов предложения. Действительно, понимание общих предложений весьма ощутимо зависит от понимания элементарных предложений.
4. 42. Относительно согласования и несогласования предложения с возможностями истинности п элементарных предложений имеется возможностей.
4. 43 Согласование возможностей истинности мы можем выразить, соотнося с ними насхеме знак "И". Отсутствие этогознака означает несогласование.
4. 431. Выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений выражает условия истинности предложения. Предложение есть выражение своих условий истинности. (Фреге поэтому совершенно правильно помещал их вначале, как объяснение знаков своей логической символики. Только его объяснение понятия истинности ложно: если бы "истинное" и "ложное" были действительно объектами и аргументами в выражениях ~р и т. д., тогда смысл ~р отнюдь еще не устанавливался бы определением Фреге.).
4. 44. Знак, возникающий из соотнесения знака "Я" с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.
4. 441. Ясно, что комплексу знаков "Л" и "И" не соответствует никакой объект (или комплекс объектов); не более-чем горизонтальными вертикальным линиям или скобкам соответствуют какие-либо объекты. Не существует "логических объектов". Аналогично, конечно, и для всех знаков, выражающих то же самое, что и схемы "И" и "Л".
4. 442. Так, например: ("Знак утверждения" Фреге "/-" логически полностью бессмыслен; он только указывает у Фреге (и у Рассела), что эти авторы считают отмеченные им предложения истинными. Поэтому "/-" является частью соединения предложений не более, чем, например, номер предложения. Предложение не может утверждать о самом себе, что оно истинно.) Если последовательность возможностей истинности в схеме устанавливается правилом комбинации раз и навсегда, тогда уже одна последняя колонка является выражением условий истинности. Если мы напишем эту колонку в строчку, то пропозициональный знак будет: " (ИИ-И} (р, q)" или еще яснее: " (ИИЛИ) (р, q)". (Количество мест в левых скобках определяется количеством членов в правых.)
4. 45. Для "n" элементарных предложений имеется Lnвозможных групп условий истинности. Группы условий истинности, принадлежащие к возможностям истинности некоторого числа элементарных предложений, могут упорядочиваться в ряд.
4. 46. Среди возможных групп условий истинности имеется два предельных случая. В первом случае предложение истинно для всех возможностей истинности элементарного предложения. Мы говорим, что условия истинности тавтологичны. Во втором случае предложение ложно для всех возможностей истинности. Условия истинности противоречивы. В первом случае мы называем предложение тавтологией, во втором – противоречием.