6. 1201. То, что, например, предложения "р" и "~р" в связи ~ (р* ~р)" дают тавтологию, показывает, что они противоречат друг другу. То, что предложения "р É р", "р" и "q", связанные друг с другом в форме " (рÉq) * (р): É: (q) ", дают тавтологию, показывает, что q следует из р и pÉ q. To, что " (x) fx: É: fа" есть тавтология, показывает, что fa следует из (х) * fx, и т. д.
6. 1202. Ясно, что для этой же цели можно было бы применять вместо тавтологии противоречия.
6. 1203. Для того чтобы опознать тавтологию как таковую, можно пользоваться в тех случаях, когда в тавтологию не входит знак общности, следующим наглядным методом: я пишу вместо "p", "q", "r" и т. д. "ИрЛ". "ИqЛ", "ИrЛ" и т. д. Комбинации истинности я выражаю скобками, например: а координацию истинности или ложности всего предложения с комбинациями истинности аргументов истинности-линиями следующим образом: Этот знак изображал бы, например, предложение pÉq. Теперь я хочу исследовать на основании этого, является ли, например, предложение ~ (р * ~р) (закон противоречия) тавтологией. Форма "~x" в нашем способе записи напишется: И – "ИxЛ" – Л. Форма "~xh" напишется так. Поэтому предложение ~ (р. ~q) гласит следующее. Если мы поставим здесь вместо "q" – "р" и исследуем сочетание самых крайних Я и Л с самыми внутренними, то получится, что истинность всего предложения согласовывается со всеми комбинациями истинности его аргументов, а его ложность не согласовывается ни с одной комбинацией истинности.
6. 121. Предложения логики демонстрируют логические свойства предложений, связывая их в ничего не говорящие предложения. Этот метод можно было бы назвать также методом нуля. В логическом предложении предложения уравновешиваются друг с другом, и тогда состояние равновесия указывает, как должны логически строиться эти предложения.
6. 122. Из этого следует, что мы можем обходиться без логических предложений, так как мы ведь можем узнавать в соответствующей записи формальные свойства предложений простым наблюдением их.
6. 1221. Если, например, два предложения "р" и "q" в связи "pÉq" дают тавтологию, то ясно, что q следует из р. Например, то, что " следует из "pÉ q*p", мы видим из самих этих двух предложений, – но это мы можем также показать, связывая их в "р É q * р: É: q" и показывая затем, что это тавтология.
6. 1222. Это проливает свет на вопрос, почему логические предложения могут подтверждаться, опытом не более, чем они могут опровергаться опытом. Предложение логики не только не должно опровергаться никаким возможным опытом, но оно также не может им подтверждаться.
6. 1223. Теперь ясно, почему мы нередко чувствуем, будто "логические истины" должны "требоваться" нами. Мы можем фактически требовать их постольку, поскольку мы можем требовать удовлетворительного способа записи.
6. 1224. Теперь также ясно, почему логика была названа учением о формах и выводе.
6. 123. Ясно, что логические законы сами не могут в свою очередь подчиняться логическим законам. (Для каждого "типа" нет своего особого закона противоречия, как полагал Рассел, но достаточно одного, так как он ведь не применяется к самому себе.)
6. 1231. Признаком логического предложения не является общезначимость. Быть общим – это ведь только значит: случайно иметь значение для всех предметов. Необобщенное предложение может быть тавтологичным точно так же, как и обобщенное.
6. 1232. Логическую общезначимость можно было бы назвать существенной, в противоположность случайной общезначимости, которая выражается, например, в предложении "все люди смертны". Предложения типа расселовской "аксиомы сводимости" не являются логическими предложениями, и этим объясняется то, что мы чувствуем: подобные предложения, даже если они истинны, могут быть истинными только благодаря счастливой случайности.
6. 1233. Можно представить себе мир, в котором "аксиома сводимости" недействительна. Но ясно, что логика не имеет никакого отношения к вопросу о том, таков ли наш мир в действительности или нет.
6. 124. Логические предложения описывают строительные леса (das Gerust) мира, или, скорее, изображают их. Они ни о чем не "трактуют". Они предполагают, что имена имеют значение, а элементарные предложения- смысл; это и есть их связь с миром. Ясно, что должен показывать нечто о мире тот факт, что некоторые связи символов, имеющие, по существу, определенный характер, являются тавтологиями. В этом – решающее. Мы сказали, что в символах, которые мы употребляем, кое-что является произвольным, а кое-что-нет. В логике выражается только это; но это означает, что в логике не мы выражаем с помощью знаков то, что мы хотим, а в логике высказывает себя природа естественно-необходимых знаков. Иными словами, если мы знаем логический синтаксис какого-либо знакового языка, то уже. даны все предложения логики.
6. 125. Можно-также и по старому пониманию логики-дать заранее описание всех "истинных" логических предложений.
6. 1251. Следовательно, в логике не может быть ничего неожиданного.
6. 126. Принадлежит ли предложение к логике, можно вычислить вычислением логических свойств символа. И это мы делаем при "доказательстве" логического предложения. Потому что, не заботясь о смысле и значении, мы образуем логическое предложение из другого по простым символическим правилам. Доказательство логических предложений состоит в том, что мы можем их образовывать из других логических предложений последовательным применением определенных операций, которые постоянно создают из первых предложений опять тавтологии. (А именно: из тавтологии следуют только тавтологии.) Естественно, что для логики совершенно не важен способ показа того, что ее предложения суть тавтологии. Уже потому, что предложения, из которых исходит доказательство, должны без доказательства показывать, что они – тавтологии.
6. 1261. В логике процесс и результат эквивалентны. (Поэтому нет никаких неожиданностей.)
6. 1262. Доказательство в логике есть только механическое средство облегчить распознавание тавтологии там, где она усложнена.
6. 1263. Также было бы чересчур хорошо, если бы можно было логически доказать одно осмысленное предложение из другого, а также доказать логическое предложение. Заранее ясно, что логическое доказательство осмысленного предложения и доказательство в логике должны быть совершенно различными вещами.
6. 1264. Осмысленное предложение нечто высказывает, а его доказательство показывает, что это так и есть; в логике каждое предложение является формой доказательства. Каждое предложение логики есть изображенный в знаках modus ponens (a modus ponens нельзя выразить предложением).
6. 1265. Всегда можно так понять логику, что каждое предложение есть свое собственное доказательство.
6. 127. Все предложения логики равноправны, среди ник нет существенно исходных и выводимых из них предложений. Всякая тавтология сама показывает, что она – тавтология.
6. 1271. Ясно, что число "логических исходных предложений" произвольно, так как ведь можно было бы вывести логику из одного исходного Предложения, образуя, например, просто логическое произведение исходных предложений Фреге. (Фреге, возможно, сказал бы, что это положение не было бы непосредственно очевидным. Но удивительно, что такой строгий мыслитель, как Фреге, принимал степень очевидности в качестве критерия логического предложения.)
6. 13. Логика не теория, а отражение мира. Логика трансцендентальна.
6. 2. Математика есть логический метод. Предложения математики являются уравнениями, а потому – псевдопредложениями.
6. 21. Предложение математики не выражает никакой мысли.
6. 211. В жизни ведь нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались, но математические предложения мы употребляем только для того, чтобы из предложений, не принадлежащих математике, выводить другие, равным образом не принадлежащие математике. (В философии вопрос "Для чего мы, собственно, употребляем данное слово, данное предложение" всегда приводил к ценным результатам.)
6. 22. Логику мира, которую предложения логики показывают в тавтологиях, математика показывает в уравнениях. .
6. 23. Если два выражения связаны знаком" равенства, то это означает, что они взаимозаменимы. Но имеет ли это место-должно быть видно из самих этих двух выражений. Взаимозаменяемость двух выражений характеризует их логическую форму.
6. 231. Свойством утверждения является то, что оно может пониматься как двойное отрицание. Свойством "1+1+1+1" является то, что оно может пониматься как " (1 + 1) + 1 + 1)".
6. 232. Фреге говорит, что эти выражения имеют, одинаковое значение, но различный смысл. Но в уравнении существенно то, что оно не необходимо для того, чтобы показать, что оба выражения, связываемые знаком равенства, имеют одинаковое значение, так как это может быть понято из самих этих двух выражений.
6. 2321. И то обстоятельство, что предложения математики могут доказываться, означает не что иное, как их правильность можно усмотреть, не сравнивая то, что они выражают, с фактами относительно их правильности.
6. 2322. Тождество значений двух выражений не может утверждаться. Ибо для того, чтобы иметь возможность. что-либо утверждать об их значении, я должен знать их значение; а зная эти значения, я знаю, означают ли они одно и то же или нечто различное.
6. 2323. Уравнение характеризует только точку зрения, с которой я рассматриваю оба выражения, иными словами – точку зрения тождества их значений.