Общее решение слишком длинно, чтобы приводить его здесь полностью, однако существует всего 56 различных размещений (вместе с дополнительными). Я разбиваю их на три класса. В класс I включаются все случаи, подобные приведенным выше, где пары в положениях 7-8, 13-2, 3-12, 14-1 в сумме дают 15, а всего таких случаев 20. В класс II включаются случаи, в которых пары в положениях 7-2, 8-13, 3-1, 12-14 в сумме дают 15; таких случаев снова 20. В класс III входят все случаи, в которых пары в положениях 7-8, 13-2, 3-1, 12-4 в сумме дают 15; таких случаев 16. Всего получается 56 случаев.
[Для семиконечной звезды существует 72 решения. - М. Г.]
386. На рисунке приведено искомое решение. Сумма четырех чисел вдоль любой прямой равна 34. Если решение для одной звезды известно, то его можно без труда преобразовать в решение для второй звезды, отметив, как перемещаются числа в приведенных двух решениях.
Мне не удалось подсчитать общее количество решений для звезд данного порядка. Это, как мне кажется, весьма трудная задача. Быть может, читатели попытают в ней счастья.
[Для случая восьмиконечной звезды известно 112 различных решений. - М. Г.]
387. На рисунке показан один из способов размещения гарнизонов, при котором общее число солдат вдоль каждой из пяти линий равно 100.
388. Положите карты 1, 2, 3, 4, 5 в последовательности, показанной пунктирными линиями, то есть каждую следующую карту помещайте через один угол, двигаясь по часовой стрелке, а затем разместите в противоположном направлении карты 6, 7, 8, 9, 10, позаботясь о том, чтобы 6 было расположено с нужной стороны от 5. Сумма очков на каждой стороне равна 14. Если вы теперь разместите карты 6, 7, 8, 9, 10 первым способом, а карты 1, 2, 3, 4, 5 вторым, то получите другое решение - с суммой, равной 19. Теперь проделайте то же самое о двумя множествами чисел 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10, и вы получите еще два решения с суммами соответственно 16 и 17.
Всего существует 6 решений, из которых 2 последних являются особыми. Выпишите в том же порядке 1, 4, 7, 10, 13 и 6, 9, 12, 15, 18; выпишите также 8, 11, 14, 17, 20 и 3, 6, 9, 12, 15. Затем вычтите 10 из каждого числа, большего 10.
389. Решение вы видите на рисунке справа. Начав с верхнего кружка и двигаясь по часовой стрелке, вписывайте числа от 1 до 7 через одну вершину. Затем, начав сразу над 7 и двигаясь в противоположном направлении, заполните свободные места числами от 8 до 14. Если же вы сначала впишите числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, а затем 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, то получите другое решение с суммой 22 вместо 19. Если в приведенных решениях заменить каждое число разностью между ним и 15, то получатся два дополнительных решения с суммами, равными соответственно 26 и 23 (разность между 45 и 19, 45 и 22).
390. Ясно, что все указанные суммы должны равняться 26. Одно из многочисленных решений приведено на рисунке.
391. На рисунке приведен единственно правильный ответ.
392. Для решения головоломки необходимо лишь поместить число 10 в центр, а остальные числа вписать по порядку по окружности: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11.
393.
| А | В | ||||||
| 15 л | 16 л | 15 л | 16 л | 15 л | 16 л | 15 л | 16 л |
| 0 | 16* | 15 | 5* | 15* | 0 | 0 | 11 |
| 15 | 1* | 0 | 5 | 0 | 15 | 15 | 11 |
| 0 | 1 | 5 | 0 | 15 | 15 | 10* | 16 |
| 1 | 0 | 5 | 16 | 14* | 16 | 10 | 0 |
| 1 | 16 | 15 | 6* | 14 | 0 | 0 | 10 |
| 15 | 2* | 0 | 6 | 0 | 14 | 15 | 10 |
| 0 | 2 | 6 | 0 | 15 | 14 | 9* | 16 |
| 2 | 0 | 6 | 16 | 13* | 16 | 9 | 0 |
| 2 | 16 | 15 | 7* | 13 | 0 | 0 | 9 |
| 15 | 3* | 0 | 7 | 0 | 13 | 15 | 9 |
| 0 | 3 | 7 | 0 | 15 | 13 | 8* | 16 |
| 3 | 0 | 7 | 16 | 12* | 16 | ||
| 3 | 16 | 15 | 8* | 12 | 0 | ||
| 15 | 4* | 0 | 8 | 0 | 12 | ||
| 0 | 4 | 8 | 0 | 15 | 12 | ||
| 4 | 0 | 8 | 16 | 11* | 16 | ||
| 4 | 16 | 11 | 0 | ||||
Каждая строка в столбце означает операцию. Так, в случае A мы сначала наполняем сосуд в 16 л, затем переливаем 15 л в другой сосуд, оставив 1 л; затем, опорожнив сосуд емкостью 15 л, переливаем в него 1 л из 16-литрового сосуда и т. д.
Звездочки показывают, как можно последовательно отмерить 1, 2, 3, 4 л и т. д. Можно поступить иначе - так, как показано в случае B: сначала наполнить 15-литровый сосуд, а затем последовательно отмерять 14, 13, 12, 11 л и т. д. Продолжив "стратегию" A, мы получим схему переливаний B в обратном порядке. Отсюда видно, что для того, чтобы отмерить от 1 до 7 л, мы должны воспользоваться способом A, а от 8 до 14 л - способом B. При способе A мы можем отмерить 8 л за 30 операций, а при способе B - лишь за 28, что и будет правильным ответом.
Удивительно, что с помощью любых двух взаимно простых мер (то есть не имеющих общих делителей, как, например, 15 и 16) мы можем отмерить любое целое число литров от 1 до наибольшей меры. С помощью емкостей 4 и 6 л (каждое делится на 2) мы можем отмерить только 2, 4 и 6 л. С 3- и 9-литровым сосудами мы можем отмерить только 3, 6 и 9 л. В нашей таблице отмериваемые объемы идут в правильной последовательности. Однако если мы возьмем сосуды в 9 и 16 л и применим способ A, то получим 6, 14, 5, 12, 3 л и т. д. с циклической разностью 7 (16-9-7). Другими словами, прибавляя 7 к 14 и вычитая 16, мы получим 5, а прибавляя 7 к 12 и вычитая 16, получим 3 и т. д.
[Относительно одного хорошего метода решения подобных головоломок с помощью изометрической бумаги см. мою заметку в журнале Scientific American, September 1963, а дальнейшее обсуждение этого метода - в книге Т. Н. O’Beirne "Puzzles and Paradoxes" (Oxford University Press, 1965). - M. Г.]
394. Наполнив и опорожнив 7-квартовый сосуд 14 раз, вы выльете 98 кварт и оставите в бочке 22 кварты, совершив 28 операций. (На то, чтобы наполнить и опорожнить сосуд, уходят 2 операции.) Наполните 7-квартовый сосуд, затем из него наполните 5-квартовый сосуд (в 7-квартовом остаются 2 кварты). Опорожните сосуд емкостью в 5 кварт, перелейте в него оставшиеся 2 кварты из 7-квартового сосуда. Снова наполните 7-квартовый сосуд и дополните из него 5-квартовый (в 7-квартовом останутся 4 кварты). Опорожните 5-квартовый сосуд и перелейте в него 4 кварты из 7-квартового сосуда. Еще раз наполните 7-квартовый сосуд и долейте из него 5-квартовый (в 7-квартовом сосуде останется 6 кварт). Опорожните 5-квартовый сосуд. Наполните его из 7-квартового сосуда (в котором останется 1 кварта). Опорожните 5-квартовый сосуд. Перелейте оставшуюся 1 кварту из бочки в 5-квартовый сосуд. На все переливания уйдет еще 14 операций. Так что всего придется совершить 42 операции. Или же вы можете вылить из бочки 104 кварты за 32 операции (12 раз по 7 и 4 раза по 5 - самый быстрый способ), а с оставшимися 16 квартами справиться за 10 операций.
395. Наполните сосуды емкостью 7 и 5 кварт. Вылейте 108 кварт из бочки, опорожните 5-квартовый сосуд в бочку, а затем наполните его из 7-квартового сосуда. Перелейте содержимое 5-квартового сосуда в бочку. Отлейте 2 кварты из большего сосуда в меньший. Наполните 7-квартовый сосуд из бочки, а затем из него 5-квартовый сосуд. Перелейте содержимое 5-квартового сосуда в бочку. Перелейте 4 кварты из большего сосуда в меньший. Наполните больший сосуд из бочки и отлейте из него 5 кварт в меньший сосуд. Вылейте на землю содержимое 5-квартового сосуда и наполните его из бочки. Выплесните па землю только что налитые 5 кварт и перелейте 1 кварту из бочки в 5-квартовый сосуд. Задание, таким образом, выполнено за наименьшее число операций, равное 17.
396. Вместимость кувшина должна быть чуть меньше 3 л. Точнее говоря, она равна 2,93 л.
397. Две пинты воды можно отмерить за 14 операций, если сосуды над чертой пусты, а каждая строка соответствует одной операции.