Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок стр 45.

137. Бочки можно разместить 42 различными способами. Положение бочек 1 и 9 всегда остается неизменным. Условимся сначала помещать бочку 2 так, чтобы она оказывалась под бочкой 1. Тогда, если бочка 3 расположится под бочкой 2, то мы получим пять вариантов размещения бочек. Если же бочка 3 расположится справа от бочки 1, то в пяти вариантах под бочкой 2 оказывается бочка 4, в пяти - бочка 5, в четырех - бочка 6 и в двух - бочка 7. Всего получается 21 вариант. Но бочку 2 не обязательно ставить под бочку 1. С тем же успехом ее можно расположить справа от бочки 1. При этом мы получим еще 21 вариант. Эта партия размещений при внимательном рассмотрении оказывается не новой: все варианты переходят в один из первых вариантов при зеркальном отражении и при переворачивании "с головы на ноги". В центре всегда располагаются бочки 4, 5 или 6.

138. Необходимо лишь поменять местами 8 и 9, перевернув предварительно девятку так, чтобы она превратилась в шестерку. Тогда сумма чисел в каждом столбце станет равной 18.

139. Два числа, составленные из одних лишь единиц и дающие одинаковый результат при сложении и умножении, - это 1,1 и 11. Их сумма и произведение равны 12,1.

140. Вопрос Джорджа не застал Дору врасплох. Она немедленно дала верный ответ: 0.

141. Искомое число равно 142 857. Оно совпадает с периодически повторяющейся последовательностью цифр, стоящих в дробной части числа , записанного в десятичной форме.

142. Искомое число равно 153. Кубы чисел 1, 5 и 3 равны соответственно 1, 125 и 27, а их сумма 153.

[Автор не заметил четвертого числа: 371. Если не считать 1, то 407, 370, 153 и 371 - единственные четыре числа, совпадающие с суммой кубов своих цифр. Относительно более общей задачи отыскания чисел, совпадающих с суммой n-ных степеней своих цифр, смотри книгу Joseph S. Madachy "Mathematics on Vacations" (N. Y., 1966, pp. 163-165). - M. Г.]

143. Вот как выглядит подробная запись деления:

[Когда Дьюдени впервые опубликовал эту головоломку, один читатель прислал ему доказательство единственности решения, однако оно слишком длинно, чтобы его здесь можно было привести. - М. Г.]

144. Полностью восстановленный пример выглядит так:

Три нуля внизу показывают, что последнее четырехзначное число делится как на 625, так и на 1000. Следовательно, оно разлагается в произведение следующих множителей: 5, 5, 5, 2, 2, 2, x, где x - число, которое меньше 10. У трехзначного делителя по крайней мере один из составляющих его множителей должен равняться 5. Следовательно, последняя цифра делителя равна 5 или 0. Вычитание из единственного нуля незадолго до конца показывает, что она равна 5. Отсюда мы сразу получаем последнее число: 5000. Делитель не содержит 2 (иначе он не оканчивался бы на 5); следовательно, последняя цифра частного должна равняться 8 (2 × 2 × 2), делитель равен 625, а x представляет собой четвертую пятерку. Остальное делается совсем просто.

145. Ответ:

Если первое число разбить на пары (45, 39 и т. д.), то их можно переставлять в любом порядке, лишь бы пара 06 не стояла в начале, а пара 45 - в конце.

146. Довольно легко обнаружить, что делитель должен равняться 312, а в частном не может содержаться девятка, поскольку делитель, умноженный на 9, даст повторяющиеся цифры. Таким образ.ом, известно, что частное содержит все цифры от 1 до 8 по одному разу. Остальное уже сравнительно легко сделать. Мы обнаружим, что имеется четыре возможных случая и что только в одном из них отсутствует повторение цифр, а именно:

[Возможно и другое решение:

147. Приводим ответ:

Если читатель проделает указанные действия, то обнаружит, что все условия головоломки выполнены.

148. Разделив 4 971 636 104 на 124 972, мы получим 39 782. Читатель может сам произвести деление и убедиться, что все условия выполнены. Если мы разрешим ввести дополнительные семерки в делимое, то ответ будет иметь вид

[Возможны еще три решения:

149. Первый пример на деление имеет вид

а второй

150. Ответ имеет вид

Ясно, что R не может быть равным 1; следовательно, оно должно равняться 5 или 6 для того, чтобы во второй строке появилось R. Далее, цифра D должна быть нулем, чтобы в пятой строке получилось V . Точно так же как M должно быть 1, 2, 3 или 4, если R равно 5, но может быть и 5, если R равно 6. Цифра S должна быть четным числом, если R равно 5, чтобы D равнялось 0, а если R равно 6, то 5 должно равняться 5. Выяснив все эти факты, мы уже легко получим ответ с помощью небольшого числа проб.

151.

152. 6543 × 98271 = 642987153.

153. Единственное слово (а не бессмысленный набор букв), удовлетворяющее заданным условиям, - это ПОДСВЕЧНИК. Сумма расшифровывается следующим образом:

154. Ключ к коду имеет вид

откуда мы получаем

a BEESWAX означает число 4 997 816.

155.

156.

157.

158. Очевидно, что A равно 1, а B и C обозначают либо 6 и 2, либо 3 и 5. Из третьего уравнения видно, что они равны 3 и 5, поскольку D должно равняться 7. Буква E равна 8, так как в произведении D × E появляется C = 5. Остальное закончить совсем легко, и мы получаем следующий ответ: