В качестве примера рассмотрим сферу, помещенную внутрь эллипсоида - поверхности, имеющей форму дыни, - так, что их центры совпадают. Лучи, проведенные из их общего центра во всех возможных направлениях, соединят точки на сфере с точками на эллипсоиде. Подобная операция может быть проделана для любой точки эллипсоида или сферы. Отображение в данном случае не только является непрерывным и однозначным, но оно также не нарушает гладкости отображаемой поверхности. Функция, связывающая две эти поверхности, также не имеет никаких особенностей - это просто прямая линия без зигзагов, резких поворотов и вообще чего-либо необычного. Таким образом, два рассматриваемых объекта - сферу и эллипсоид - можно назвать как гомеоморфными, так и диффеоморфными.
Рис. 3.12. Геометр Саймон Дональдсон
Противоположным примером является так называемая экзотическая сфера. Экзотической сферой называется гладкое во всех точках семимерное многообразие, которое, тем не менее, невозможно без нарушения гладкости преобразовать в обычную круглую семимерную сферу даже при соблюдении условия непрерывности преобразования. Таким образом, подобные поверхности являются гомеоморфными, но не диффеоморфными. Джон Мильнор, уже упоминавшийся в данной главе, получил медаль Филдса во многом благодаря установлению им факта существования экзотических пространств. До открытия Мильнора многие сомневались в существовании таких пространств, поэтому их и назвали экзотическими.
Плоское евклидово пространство для случая двух измерений является простейшим из всех пространств, которые можно себе представить, - это плоская поверхность, подобная крышке стола, которая простирается бесконечно во всех возможных направлениях. На вопрос, будет ли двухмерный диск, множество точек которого является подмножеством точек плоскости, гомеоморфным и диффеоморфным данной плоскости, можно ответить - да, будет. Можно представить себе толпу людей, стоящих на плоскости, каждый из которых берет в руку краешек диска и идет с ним в направлении от центра диска. Как только они достигнут бесконечности, диск точно, непрерывно и однозначно совпадет с плоскостью. Таким образом, эти объекты идентичны с точки зрения тополога. Очевидно и то, что подобный процесс растягивания диска в радиальном направлении можно проделать без нарушения его гладкости.
Все вышесказанное сохраняет свою силу для трех и любого другого числа измерений за исключением случая четырех. В четырехмерном пространстве многообразия могут быть гомеоморфны плоскости или плоскому евклидовому пространству, не будучи при этом диффеоморфны ему. По сути, существует бесконечное множество четырехмерных многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных четырехмерному евклидовому пространству, носящих общее название ℝ (ℝ - от "real" - означает, что элементами пространства являются действительные числа, в противоположность комплексному четырехмерному пространству).
Четырехмерное пространство преподносит нам множество особенностей и загадок. Так, к примеру, в пространственно-временном континууме, содержащем 3+1 измерение (три пространственных и одно временное), по словам Дональдсона, "электрическое и магнитное поля будут идентичны". "Но для другого числа измерений с геометрической точки зрения это будут два совершенно разных объекта. Одно из них представляет собой тензор и описывается при помощи матрицы, тогда как другое - вектор, и сравнивать их невозможно. Только в четырех измерениях и то и другое поле будет описываться векторами. Симметрия, имеющая место в данном случае, для иного числа измерений будет отсутствовать".
Дональдсона, по его словам, восхищает тот факт, что с фундаментальной точки зрения невозможно точно указать, что именно выделяет случай четырех измерений среди всех остальных. До того как вышла его работа, о "гладкой эквивалентности" (диффеоморфизме) не было известно практически ничего, хотя благодаря математику Майклу Фриману (ранее работавшему в Калифорнийском университете, Сан-Диего) уже существовали определенные наработки в области топологической эквивалентности (гомеоморфизма). В свою очередь Фриман классифицировал четырехмерные многообразия с топологической точки зрения, основываясь на более ранней работе Эндрю Кассона, в настоящее время работающего в Йельском университете.
Дональдсон привнес в топологию целый ряд свежих идей, использование которых на практике позволило решить сложнейшую задачу классификации гладких (диффеоморфных) четырехмерных многообразий, открыв, фигурально выражаясь, закрытую прежде дверь. До него подобные многообразия были темным лесом. И хотя четырехмерные многообразия еще содержат в себе много загадок, по крайней мере, вопрос, с чего начинать их исследование, уже не стоит. При этом, однако, метод Дональдсона оказался чрезвычайно труден для практического применения. "Мы работали как лошади, пытаясь этим путем извлечь хоть какую-то информацию!" - рассказал гарвардский геометр Клиффорд Таубс.
В 1994 году Эдвард Виттен и его коллега - физик Натан Зайберг обнаружили намного более простой метод исследования геометрии четырехмерных пространств, несмотря на то что их подход основывался не собственно на геометрии, как метод Дональдсона, а на одной из теорий из области физики элементарных частиц - так называемой теории суперсимметрии. "В новом уравнении содержится вся информация, которая содержалась и в старом, - прокомментировал это открытие Таубс. - Разница лишь в том, что извлечь эту информацию из нового уравнения в тысячу раз проще". Таубс, как и многие другие, использовал подход Зайберга-Виттена для расширения наших знаний о геометрических структурах в четырехмерном пространстве, понимание которых на сегодняшний день остается весьма условным, но тем не менее очень важным для ответа на вопрос о природе пространства-времени в общей теории относительности.
Виттен показал, что для большей части четырехмерных многообразий число решений уравнения Зайберга-Виттена определяется исключительно топологией соответствующего многообразия. После этого Таубс доказал теорему, согласно которой количество решений этих уравнений, предопределенное топологией многообразия, совпадает с числом подпространств или кривых определенного типа (семейства), которые можно поместить в данном многообразии. Определив количество кривых конкретного типа, соответствующих данному многообразию, можно как определить его геометрию, так и получить о нем много другой важной информации. Таким образом, справедливым будет заметить, что теорема Таубса позволила значительно продвинуться в области исследования подобных пространств.
Взглянув на историю исследований четырехмерных пространств, начиная с работ физиков Янга и Миллса в 1950-х, можно обнаружить, что в своем развитии эта теория проходила этапы, на которых физика оказывала влияние на математику, плавно переходящие в этапы, на которых математика влияла на физику. Несмотря на свое физическое происхождение, теория Янга-Миллса возникла не без участия геометрии, которая помогла лучше понять природу сил, объединяющих элементарные частицы в единое целое. Подойдя к данной проблеме с другой стороны, геометр Дональдсон использовал теорию Янга-Миллса для того, чтобы понять топологию и геометрию четырехмерных пространств. Тот же взаимовыгодный обмен между математикой и физикой был продолжен в работе физиков Зайберга и Виттена и в последовавших за ними работах. Таубс так подвел итог этой бурной истории: "Однажды на Землю прилетел марсианин, дал нам уравнения Янга-Миллса и улетел. Мы изучали их, и в конце концов возникла теория Дональдсона. Много лет спустя марсианин прилетел вновь и дал нам уравнения Зайберга-Виттена". Хотя я и не могу поручиться за достоверность истории Таубса, пожалуй, из всех объяснений, которые я когда-либо слышал, это - наиболее правдоподобное…
Второе важнейшее достижение геометрического анализа - и многие поставили бы именно его на первое место по важности - относится к доказательству знаменитой гипотезы, сформулированной в 1904 году Анри Пуанкаре и на протяжении более столетия остававшейся важнейшей проблемой трехмерной топологии. Основной причиной, по которой я считаю эту гипотезу выдающейся, является возможность сформулировать ее в виде одного простого утверждения, которое, тем не менее, держало в напряжении все математическое сообщество на протяжении сотни лет. В двух словах, эта гипотеза утверждает, что компактное трехмерное пространство топологически эквивалентно сфере, если любая петля, которую можно построить в данном пространстве, может быть стянута в точку без нарушения при этом целостности петли или пространства. Как уже было сказано ранее в данной главе, пространство, удовлетворяющее этому условию, содержит тривиальную фундаментальную группу.