Поскольку мое доказательство показалось мне убедительным, по окончании зимних каникул я показал его одному из своих наставников, молодому преподавателю университета Блейну Лоусону. Лоусон согласился с ним и, используя некоторые идеи из той же статьи, мы совместными усилиями попытались доказать еще одну теорему, затрагивающую вопрос связи кривизны и топологии. Несомненно, я был доволен тем, что мне удалось внести определенный вклад в корпус математических знаний, хотя и не полагал, что сделал нечто особо примечательное. Я все еще искал тот путь, на котором мог бы оставить свой след.
Мне неожиданно пришло в голову, что ответ на вопрос, который меня интересовал, я смогу найти в курсе лекций по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных, который я слушал в то время. Преподаватель, читавший нам эти лекции, профессор Чарльз Морри, производил на меня огромное впечатление. Его курс по предмету, который не пользовался большой популярностью, требовал огромных усилий для понимания, будучи основан на чрезвычайно тяжелой для чтения книге самого Морри. Вскоре после начала занятий на его лекциях не осталось других студентов, кроме меня, что во многом было обусловлено начавшимися в то время студенческими демонстрациями против бомбардировок Камбоджи. Впрочем, Морри не прекращал своих лекций, уделяя, по-видимому, достаточно большое внимание их подготовке несмотря на то, что посещал их теперь всего один студент.
Рис. 3.1. Геометр Чарльз Морри (фотография Джорджа М. Бергмана)
Морри был специалистом в области дифференциальных уравнений в частных производных, и методы их решения, разработанные им, отличались большой глубиной. Отдавая ему должное, могу сказать, что именно лекции Морри стали основой всей моей дальнейшей научной карьеры.
Дифференциальные уравнения используются везде, где встречаются бесконечно малые изменения переменных, в том числе и в физических законах. Одним из наиболее важных и сложных классов этих уравнений являются так называемые дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие изменение некоей функции при изменении сразу нескольких переменных. При помощи дифференциальных уравнений в частных производных можно предсказать поведение данной, функции не только, например, во времени, но и при изменении других переменных, например при перемещении в пространстве вдоль осей x, y или z. Подобные уравнения дают возможность заглянуть в будущее и увидеть возможную эволюцию системы; без них физика была бы лишена своей предсказательной силы.
Геометрия тоже не может обойтись без дифференциальных уравнений. Мы используем их, чтобы определить кривизну объекта и вычислить ее изменение при переходе от точки к точке. Именно это делает геометрию необходимой для физических приложений. Приведем простой пример: ответ на вопрос, будет ли катящийся мяч двигаться с ускорением, то есть будет ли его скорость изменяться во времени, напрямую зависит от кривизны траектории мяча. Это только один пример тесной связи кривизны с физическими понятиями. По этой причине и геометрия - "наука о пространстве", включающая в себя все, что связано с кривизной, - играет важную роль во многих областях физики.
Фундаментальные законы физики являются локальными в том смысле, что они всегда описывают поведение той или иной физической величины не во всем пространстве, а в отдельных, локальных, областях. Это справедливо даже для общей теории относительности, стремящейся описать кривизну всего пространственно-временного континуума в целом. В конце концов, и производные, фигурирующие в дифференциальных уравнениях, тоже берутся именно в отдельных точках. Все это создает проблему для физиков. Как сказал математик UCLA Роберт Грин: "Итак, исходя из локальной информации, такой как кривизна, необходимо узнать строение объекта как целого. Вопрос состоит в том, как это сделать".
Рассмотрим для начала кривизну поверхности Земли. Поскольку провести измерения всего земного шара сразу крайне сложно, Грин предложил рассмотреть вместо этого следующую картину. Представим себе собаку, сидящую на прикрепленной к столбу цепи во дворе. Если у собаки есть возможность перемещаться хотя бы в небольших пределах, она сможет узнать, какую кривизну имеет тот участок земли, который ограничен длиной цепи. В данном случае предполагается, что эта кривизна положительна. Представим теперь, что в каждом дворе мира живет подобная собака, привязанная к столбу, и каждый из участков земли вокруг этих столбов имеет положительную кривизну. Сведя воедино все эти данные о локальной кривизне, можно сделать вывод, что топологически данная планета должна иметь сферическую форму.
Рис. 3.2. Графики, иллюстрирующие движение объекта вдоль определенной траектории. Скорость - величина, показывающая, насколько быстро положение объекта изменяется с течением времени, может быть получена путем взятия производной по кривой перемещения. Производная определяется наклоном кривой в данной точке и численно равна скорости в соответствующий момент времени. Ускорение, величина которого показывает, как изменяется скорость с течением времени, можно, в свою очередь, получить, взяв производную по кривой зависимости скорости от времени. Значение ускорения в определенный момент времени определяется наклоном кривой в соответствующей точке
Конечно, существуют и более строгие методы определения кривизны участка поверхности, не основанные на субъективных ощущениях привязанной на нем собаки. К примеру, если цепь имеет длину r и собака движется вокруг столба так, что ее цепь все время натянута, то в случае плоского пространства (плоской Земли) длина описываемой собакой окружности будет равна точно 2πr. На поверхности сферы, обладающей положительной кривизной, длина окружности будет несколько меньше, чем 2πr, из-за того что сферическая поверхность как бы "наклоняется вниз" при движении в любом из возможных направлений; в том же случае, когда столб находится на горном перевале или в седловой точке, обладающей отрицательной кривизной, имеющей наклон вниз в одних направлениях и наклон вверх в других, длина окружности будет несколько больше, чем 2πr. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы определить кривизну каждого конкретного участка, измерив расстояния, проходимые по кругу каждой из собак, - и затем свести эти результаты воедино.
Именно этим и занимается дифференциальная геометрия. Кривизна в дифференциальной геометрии определяется локально, то есть в отдельных точках, однако полученная таким образом информация применяется для того, чтобы сделать выводы о пространстве в целом. "Кривизна управляет топологией" - наш основной девиз. А нашим основным инструментом являются дифференциальные уравнения.
Геометрический анализ - сравнительно новая область математики, к обсуждению которой мы сейчас приступим, - развивает эту идею дальше. Следует отметить, что общий подход, предусматривающий использование дифференциальных уравнений в геометрии, развивался в течение нескольких столетий, зародившись практически одновременно с дифференциальным исчислением. Одним из первых исследователей в этой области стал великий швейцарский математик XVIII столетия Леонард Эйлер. Помимо всего прочего, он первым применил дифференциальные уравнения в частных производных для систематического исследования трехмерных поверхностей. Через два с лишним столетия после Эйлера мы продолжаем идти по его стопам. По сути, Эйлер был одним из первых, кто обратил внимание на нелинейные уравнения, лежащие сегодня в основе геометрического анализа.
Нелинейные уравнения, как правило, весьма сложны для решения, отчасти потому, что описываемые ими модели носят более запутанный характер. Так, нелинейные системы по своей природе менее предсказуемы, чем линейные, - хорошим примером здесь может служить погода - даже небольшие изменения в начальных условиях могут привести к совершенно другим результатам. Возможно, наиболее известной формулировкой того же утверждения является так называемый эффект бабочки в теории хаоса, парадоксальным образом предсказывающий возможность того, что взмах крыла бабочки в одной части мира может стать причиной возникновения торнадо в другой.
Линейные системы, напротив, содержат в себе гораздо меньше подводных камней и, следовательно, гораздо более просты для понимания.
Линейные зависимости - это зависимости типа y = 2x, названные так, поскольку их графиками являются прямые линии. Каждому значению аргумента здесь соответствует единственное значение функции. Двоение x автоматически приведет к удвоению y и наоборот. Изменение одной переменной всегда пропорционально изменению другой; невозможно получить огромный скачок в значении одной из переменных, лишь слегка изменив другую. Если бы законы природы описывались исключительно линейными зависимостями, наш мир был бы намного проще для понимания - хотя и значительно менее интересным. Но это не так - и именно поэтому приходится иметь дело с нелинейными уравнениями.